이중근호

이중근호 풀이

이중근호 풀기

1 공식

[math]\displaystyle{ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a\gt b }[/math])

2 유도

[math]\displaystyle{ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sqrt{a}+\sqrt{b} }[/math]

3 기초 예제

풀어보시라.

• [math]\displaystyle{ \sqrt{5+2\sqrt{6}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{6+2\sqrt{8}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{6-2\sqrt{5}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{8+2\sqrt{7}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{8-2\sqrt{15}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{9-2\sqrt{18}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{13-2\sqrt{42}} }[/math]

4 풀이

방법은 동일하므로 1개만 풀어보자.

[math]\displaystyle{ \sqrt{5+2\sqrt{6}} }[/math]

직관

더하면 5, 곱하면 6이 나오는 양의 정수쌍은 2와 3. 따라서 답은 [math]\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3} }[/math]

계산

[math]\displaystyle{ a+b=5 }[/math] …… (1)

[math]\displaystyle{ ab=6 }[/math] …… (2)

(1)에서

[math]\displaystyle{ b=5-a }[/math]

이것을 (2)에 대입

[math]\displaystyle{ a(5-a)=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ 5a-a^2=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ a^2-5a+6=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (a-2)(a-3)=0 }[/math]

a는 2 또는 3.

a=2라면 b=3. 또는 a=3이라면 b=2

∴ [math]\displaystyle{ \sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3} }[/math]

5 계수가 2가 아닌 경우

계수가 2가 아닐 떄는 2가 되도록 맞춰주면 된다.

• [math]\displaystyle{ \sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{5+2\sqrt{6}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+2\sqrt{12}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{14-4\sqrt{6}}=\sqrt{14-2\sqrt{24}} }[/math]

6 근호 안이 정수가 아닌 경우

(여기부터는 정규교과 과정에서 다루지 않는 부분. 필자의 뻘짓)

근호 안이 정수가 아니라도 같은 방식으로 풀 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{9}{2}+2\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+2 }[/math]

(더해서 [math]\displaystyle{ \frac{9}{2} }[/math], 곱해서 2인 것은 [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]과 4)

7 이중근호 풀기가 불가능한 경우

7.1 실수 범위

다음의 경우를 생각해보자.

• [math]\displaystyle{ \sqrt{4+2\sqrt{15}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y} }[/math]의 꼴로 나타내기 위해서는 다음 연립방정식을 만족하는 x, y를 찾아야 한다.

• [math]\displaystyle{ x+y=4 }[/math] …… (1)
• [math]\displaystyle{ xy=15 }[/math] …… (2)

대입법으로 정리하면

[math]\displaystyle{ x(4-x)=15 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2-4x+15=0 }[/math] …… (3)

판별식을 구해보면

[math]\displaystyle{ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\times1\times15=16-60=-44 }[/math]

만족하는 실수 x, y가 존재하지 않으므로 이중근호를 풀 수 없다.

7.2 복소수 범위

복소수 범위로 확장하면 이중근호를 풀 수 있기는 하다.

위 문단의 (3)에 근의 공식을 사용하면

[math]\displaystyle{ x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-(-4) \pm \sqrt {(-4)^2-4\times1\times15}}{2\times1} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{4 \pm \sqrt {-44}}{2} }[/math][math]\displaystyle{ =\frac{4 \pm 2\sqrt{11}i}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =2 \pm \sqrt{11}i }[/math]

∴[math]\displaystyle{ \sqrt{4+2\sqrt{15}}=\sqrt{2 + \sqrt{11}i}+\sqrt{2 - \sqrt{11}i} }[/math]

결국 [math]\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y} }[/math] 꼴로 표현되기는 했지만, 각 항이 다시 이중근호가 되었고, 허수단위 i까지 붙어서 더 복잡하다. 무리하게 복소수 범위까지 확장하여 이중근호를 풀 이유가 없는 것이다. (3)의 시점에서 연립방정식의 판별식이 0보다 작은 경우, 이중근호를 풀 수 없다고 알아두자.

8 기타

멀쩡한 단일 근호도 이중 근호처럼 만들어 풀어 볼 수 있다. 별의미는 없다. (…)

• [math]\displaystyle{ \sqrt{3}=\sqrt{1+2\sqrt{1}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{3}=\sqrt{5-2\sqrt{1}}=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2}}-\sqrt{\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{4}=\sqrt{2+2\sqrt{1}}=\sqrt{1}+\sqrt{1}=2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{4}=\sqrt{6-2\sqrt{1}}=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{5}=\sqrt{3+2\sqrt{1}}=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sqrt{5}=\sqrt{1+2\sqrt{4}} }[/math]

9 같이 보기

• 제곱근