근과 계수의 관계

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이차방정식 [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math]의 두 근을 [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math]라 하면,

[math]\displaystyle{ \alpha,\ \beta }[/math]에 근의 공식을 대입

[math]\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac{-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}+\frac{-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {-2b}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ =-\frac {b}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \beta = \frac{-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}\times \frac{-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {4ac}{4a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {c}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha^2+\beta^2 = ( \alpha + \beta )^2 - 2\alpha \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{ \alpha + \beta }{\alpha \beta} }[/math]