이계 선형상미분방정식

1 개요

second order linear ordinary differential equation

二階 線形 常微分方程式

이계 선형 상미분방정식

• 최고 차수가 2차인 미분 방정식으로, 아래와 같이 나타낼 수 있음
  • [math]\displaystyle{ y''+P\left(x\right)y'+Q\left(x\right)y=R\left(x\right) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ R\left(x\right)=0 }[/math]이면 제차(homogeneous) 상미분방정식이라고 함
    • [math]\displaystyle{ R\left(x\right)\ne0 }[/math]이면 비제차(inhomogeneous, 또는 nonhomogeneous) 상미분방정식이라고 함

2 특수한 경우의 제차 방정식 풀이

2.1 상계수 2계 제차 미분 방정식

• 계수가 모두 상수인 제차 선형 상미분방정식으로, 아래와 같이 나타낼 수 있음.
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle y''+ay'+by=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a,\ b }[/math]는 상수
  • 풀이 방법은 상계수 이계 제차 상미분방정식 참고

2.2 코시-오일러 방정식

• 아래와 같은 형태의 미분 방정식
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle x^2y''+axy'+by=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a,\ b }[/math]는 상수
  • 풀이 방법은 코시-오일러 방정식 참고

3 2계 비제차 선형 상미분 방정식

[math]\displaystyle{ \displaystyle (1)\quad y''+P\left(x\right)y'+Q\left(x\right)y=R\left(x\right) }[/math]

에서

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=u_1\left(x\right)y_1+u_2\left(x\right)y_2 }[/math]

로 놓는다. (매개변수변화법)
여기에서 [math]\displaystyle{ \displaystyle y_1 }[/math]과 [math]\displaystyle{ y_2 }[/math]는 위 방정식에 대응되는 제차 방정식 [math]\displaystyle{ \displaystyle y''+Py'+Qy=0 }[/math]의 해다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(u_1y_1+u_2y_2\right)=u_1'y_1+u_1y_1'+u_2'y_2+u_2y_2' }[/math]

에서

[math]\displaystyle{ \displaystyle (2)\quad u_1'y_1+u_2'y_2=0 }[/math]

으로 놓는다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle(3)\quad \frac{dy}{dx}=u_1y_1'+u_2y_2' }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle(4)\quad \frac{d^2y}{dx^2}=u_1y_1''+u_2y_2''+u_1'y_1'+u_2'y_2' }[/math]

(1) 식에 (3)과 (4)를 대입하면 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle u_1y_1''+u_2y_2''+u_1'y_1'+u_2'y_2'+\left(u_1y_1'+u_2y_2'\right)P+\left(u_1y_1+u_2y_2\right)Q=R }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle u_1'y_1'+u_2'y_2'+\left(y_1''+P_1y_1'+Qy_1)u_1+(y_2''+Py_2'+Qy_2\right)u_2=R }[/math]

여기에서 [math]\displaystyle{ y_1 }[/math]과[math]\displaystyle{ y_2 }[/math]는 제차 방정식의 해이므로, 3번째 항과 4번째 항은 소거된다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle (5)\quad u_1'y_1'+u_2'y_2'=R }[/math]

(2)식과 (5)식을 연립하면 [math]\displaystyle{ u_1' }[/math]과 [math]\displaystyle{ u_2' }[/math]를 얻을 수 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{cases} \displaystyle u_1'y_1+u_2'y_2=0\\ \displaystyle u_1'y_1'+u_2'y_2'=R \end{cases} }[/math]

크레머 규칙에 의해, 이 연립방정식의 해는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle u_1'=-\frac{y_2R}{W}\\ \displaystyle u_2'=\frac{y_1R}{W} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \displaystyle W=\begin{vmatrix} \displaystyle y_1 & y_2 \\ \displaystyle y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1y_2'-y_2y_1' }[/math]은 론스키 행렬식(Wronskian)이라고 한다.

따라서 2계 비제차 선형 상미분 방정식의 해는 다음과 같다.

2계 비제차 선형 상미분 방정식의 일반해 [math]\displaystyle{ \displaystyle y=\left(-\int\frac{y_2R}{W}+c_1\right)y_1+\left(\int\frac{y_1R}{W}+c_2\right)y_2 }[/math]

• 위 식에서 [math]\displaystyle{ c_1,c_2 }[/math]는 적분 상수
• [math]\displaystyle{ y_1,y_2 }[/math]는 대응되는 제차 상미분 방정식[math]\displaystyle{ \displaystyle y''+P\left(x\right)y'+Q\left(x\right)y=0 }[/math]의 일반해
• [math]\displaystyle{ \displaystyle W=\begin{vmatrix} \displaystyle y_1 & y_2 \\ \displaystyle y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1y_2'-y_2y_1' }[/math]는 론스키 행렬식

4 같이 보기

• 미분 방정식
• 상미분 방정식
• 선형 미분방정식
• 일계선형상미분방정식