상계수 이계 제차 상미분방정식

1 개요

second order homogeneous ordinary differential equation with constant coefficients

常係數二階第次線形常微分方程式

상계수이계제차상미분방정식

• 최고 차수가 2차이며, 계수가 모두 상수인 제차 선형 상미분방정식으로, 아래와 같이 나타낼 수 있음.
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle y''+ay'+by=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a,\ b }[/math]는 상수

2 미분방정식의 해

• 상계수 이계 제차 상미분방정식의 특성방정식은 [math]\displaystyle{ \lambda^2+a\lambda+b=0 }[/math]

특성방정식이 서로 다른 두 실근 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ \lambda_2 }[/math]를 갖는 경우의 일반해 [math]\displaystyle{ \displaystyle y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x} }[/math]

특성방정식이 서로 다른 두 허근 [math]\displaystyle{ p\pm iq }[/math]를 갖는 경우의 일반해 [math]\displaystyle{ \displaystyle y=e^{px}\left(A\cos{qx}+B\sin{qx}\right) }[/math]

• [math]\displaystyle{ p,\ q }[/math]는 실수

특성방정식이 중근 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]를 갖는 경우의 일반해 [math]\displaystyle{ \displaystyle y=\left(Ax+B\right)e^{\lambda x} }[/math]

3 풀이

[math]\displaystyle{ \displaystyle (1)\quad y''+ay'+by=0 }[/math]

에서

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=e^{\lambda x} }[/math]

로 놓으면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle (2)\quad y'=\lambda e^{\lambda x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle (3)\quad y''=\lambda^2 e^{\lambda x} }[/math]

(2), (3)을 (1)에 대입하면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left(\lambda^2+a\lambda+b\right)e^{\lambda x}=0 }[/math]

지수함수는 0이 될 수 없으므로, 특성 방정식은

[math]\displaystyle{ \lambda^2+a\lambda+b=0 }[/math]

이다.

3.1 특성방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 경우

특성방정식의 두 근을 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ \lambda_2 }[/math]라고 하면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x} }[/math]

3.2 특성방정식이 서로 다른 두 허근을 가질 경우

특성방정식의 두 근을 [math]\displaystyle{ p+iq,\ p-iq }[/math] [math]\displaystyle{ (p,\ q\text{는 실수}) }[/math]라고 하면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=c_1e^{\left(p+iq\right)x}+c_2e^{\left(p-iq\right)x} \\ \displaystyle=e^{px}\left(c_1e^{iqx}+c_2e^{-iqx}\right) \\ \displaystyle=e^{px}\left(A\cos{qx}+B\sin{qx}\right) }[/math]

만약 두 근이 순허수일 경우, 감쇠비(damping ratio) 없이 cos함수와 sin함수의 선형결합으로만 표현된다.

3.3 특성방정식이 중근을 가질 경우

해당 특성방정식(이차방정식)의 중근은 [math]\displaystyle{ \displaystyle\lambda=-\frac{a}{2} }[/math]이다.
첫 번째 기저는 [math]\displaystyle{ \displaystyle y_1=e^{\lambda x} }[/math]이며, 두 번째 기저는 다음과 같이 구할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle y_2=y_1\int\frac{dx}{\left[y_1\left(x\right)\right]^2e^{\int Pdx}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle P=a,\ y_1=e^{\lambda x} }[/math]를 대입하면

[math]\displaystyle{ \displaystyle y_2=e^{\lambda x}\int\frac{dx}{e^{2\lambda x}e^{ax}} \\ \displaystyle=e^{\lambda x}\int dx=xe^{\lambda x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle ∴\ y=\left(Ax+B\right)e^{\lambda x} }[/math]

4 같이 보기

• 미분방정식
• 이계선형 상미분방정식