1 개요[ | ]
- Cauchy-Euler equation
- Cauchy-Eule 方程式
- 코시-오일러 방정식
- 아래와 같은 형태의 이계 제차 선형 상미분방정식
- [math]\displaystyle{ \displaystyle x^2y''+axy'+by=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ a,\ b }[/math]는 상수
2 미분방정식의 해[ | ]
- 코시-오일러 방정식의 특성방정식은 [math]\displaystyle{ \lambda^2+\left(a-1\right)\lambda+b=0 }[/math]
특성방정식 [math]\displaystyle{ \lambda^2+\left(a-1\right)\lambda+b=0 }[/math]이 서로 다른 두 실근 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ \lambda_2 }[/math]를 갖는 경우의 일반해 [math]\displaystyle{ \displaystyle y=c_1x^{\lambda_1}+c_2x^{\lambda_2} }[/math]
특성방정식 [math]\displaystyle{ \lambda^2+\left(a-1\right)\lambda+b=0 }[/math]이 서로 다른 두 허근 [math]\displaystyle{ p\pm iq }[/math]를 갖는 경우의 일반해 [math]\displaystyle{ \displaystyle=x^p\left[A\sin\left(q\ln{x}\right)+B\cos\left(q\ln{x}\right)\right] }[/math]
- [math]\displaystyle{ p,\ q }[/math]는 실수
특성방정식 [math]\displaystyle{ \lambda^2+\left(a-1\right)\lambda+b=0 }[/math]이 중근 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]를 갖는 경우의 일반해 [math]\displaystyle{ \displaystyle y=\left(A\ln{x}+B\right)x^\lambda }[/math]
3 풀이[ | ]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle (1)\quad x^2y''+axy'+by=0 }[/math]
에서
- [math]\displaystyle{ \displaystyle y=x^\lambda }[/math]
로 놓으면,
- [math]\displaystyle{ \displaystyle (2)\quad y'=\lambda x^{\lambda-1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle (3)\quad y''=\lambda\left(\lambda-1\right)x^{\lambda-2} }[/math]
(2), (3)을 (1)에 대입하면 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[\lambda^2+\left(a-1\right)\lambda+b\right]x^{\lambda}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^\lambda=0 }[/math]일 경우, [math]\displaystyle{ y=0 }[/math]이라는 자명해를 도출하므로, 특성 방정식은
- [math]\displaystyle{ \lambda^2+\left(a-1\right)\lambda+b=0 }[/math]
이다.
3.1 특성방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 경우[ | ]
특성방정식의 두 근을 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ \lambda_2 }[/math]라고 하면,
- [math]\displaystyle{ \displaystyle y=c_1x^{\lambda_1}+c_2x^{\lambda_2} }[/math]
3.2 특성방정식이 서로 다른 두 허근을 가질 경우[ | ]
특성방정식의 두 근을 [math]\displaystyle{ p+iq,\ p-iq }[/math] [math]\displaystyle{ (p,\ q\text{는 실수}) }[/math]라고 하면,
- [math]\displaystyle{ \displaystyle y=c_1x^{p+iq}+c_2x^{p-iq} \\ \displaystyle=x^p\left(c_1x^{iq}+c_2x^{-iq}\right) \\ \displaystyle=x^p\left(c_1e^{iq\ln{x}}+c_2e^{-iq\ln{x}}\right) \\ \displaystyle=x^p\left[A\sin\left(q\ln{x}\right)+B\cos\left(q\ln{x}\right)\right] }[/math]
3.3 특성방정식이 중근을 가질 경우[ | ]
해당 특성방정식(이차방정식)의 중근은 [math]\displaystyle{ \displaystyle\lambda=\frac{1-a}{2} }[/math]이다.
첫 번째 기저는 [math]\displaystyle{ \displaystyle y_1=x^\lambda }[/math]이며, 두 번째 기저는 다음과 같이 구할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \displaystyle y_2=y_1\int\frac{dx}{\left[y_1\left(x\right)\right]^2e^{\int Pdx}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \displaystyle P=\frac{a}{x},\ y_1=x^\lambda }[/math]를 대입하면
- [math]\displaystyle{ \displaystyle y_2=x^\lambda\int\frac{dx}{x^{2\lambda}x^a} \\ \displaystyle=x^\lambda\int\frac{dx}{x} \\ \displaystyle=x^\lambda\ln{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ \displaystyle ∴\ y=\left(A\ln{x}+B\right)x^\lambda }[/math]