근과 계수의 관계

이차방정식의 근과 계수의 관계

근과 계수의 관계

1 개요

이차방정식 [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math]의 두 근을 [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math]라 하면,

• [math]\displaystyle{ \alpha+\beta = -\frac{b}{a} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \alpha \beta = \frac{c}{a} }[/math]

2 유도

[math]\displaystyle{ \alpha,\ \beta }[/math]에 근의 공식을 대입

[math]\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac{-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}+\frac{-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {-2b}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ =-\frac {b}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \beta = \frac{-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}\times \frac{-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {4ac}{4a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {c}{a} }[/math]

3 확장

• [math]\displaystyle{ \alpha^2+\beta^2 = ( \alpha + \beta )^2 - 2\alpha \beta }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{ \alpha + \beta }{\alpha \beta} }[/math]

4 프랑수아 비에트

프랑수아 비에트의 비에트 공식으로 알려져있다.

5 같이 보기

• 이차방정식의 근과 이차함수의 그래프의 관계
• 두 수를 근으로 가지는 이차방정식
• 근의 공식
• 토마스 해리엇

6 참고

• http://ko.wikipedia.org/wiki/이차_방정식