알레프 수

1 개요

aleph number; ℵ number

알레프 수

• 무한집합의 농도
• 무한 기수를 나타내는 표기법
• 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킴

 

2 정의

순서수 $\alpha$에 대하여, 알레프 수 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의됨

• ${\mathrm{\aleph }}_0=|\mathbb{N}|$ (자연수의 집합의 크기)
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{+}$
• ${\mathrm{\aleph }}_{\lambda }=\underset{\alpha <\lambda }{⨆}{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ ($\lambda$는 극한 순서수, 기수 $\kappa$를 크기가 $\kappa$인 집합으로 간주)

3 예시

ℵ₀

• 가산 무한 집합의 크기
• 자연수 집합 $\mathbb{N}$
• 정수 집합 $\mathbb{Z}$
• 유리수 집합 $\mathbb{Q}$
• 완전제곱수 집합
• 홀수 집합
• 짝수 집합

ℵ₁

• 가장 작은 비가산 기수
• 모든 가산 순서수들의 집합의 크기

ℵ_ω

• 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}<\kappa$ 임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 $\kappa$

4 같이 보기

• 알레프 0
• 가산집합
• 무한집합
• 정칙기수
• 기수

5 참고

• https://ko.wikipedia.org/wiki/알레프_수
• http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1122813&cid=40942&categoryId=32206