취른하우스 정리

1 개요

취른하우스 정리 또는 취른하우스 변형(Tschirnhaus transformation)은 《교육자 저널》 1683년 발행에서 에렌프리트 발터 폰 취른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)가 그의 논문에서 이를 발표하였다. 이후 이러한 방법은 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano) 그리고 스키피오 페로(Scipio Ferreo)등을 인용한 레온하르트 오일러의 1770년 저서 대수학원론(Elements of Algebra)에서 이를 자세하게 언급하였다.

2 예1

취른하우스 정리는

[math]\displaystyle{ 미지수(y) - { {\text{차고차항 계수}}\over{\text{최고차항 계수} \cdot \text{최고차항 차수}} } }[/math]의 꼴을 갖는다.

2차방정식(quadratic equation)

[math]\displaystyle{ a x^2 + b x^1 + c = 0 }[/math] 에서

[math]\displaystyle{ x= y- {{b}\over{2a}} }[/math]

3 예2

[math]\displaystyle{ a x^2 + b x^1 + c = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 + {b \over a}x +{c \over a} =0 }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ x= y- {b \over \mathbf{2} a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) =\left(y^2-\cancel{2}{b \over \cancel{2}a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) }[/math]

따라서

[math]\displaystyle{ \left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b \over a}{b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ y^2 + \left( {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 - {1 \over 2}\left({b \over a} \right)^2 \right)+{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ y^2 - {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 +{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ y^2 - \left({b^2 \over 4a^2} \right) +{c \over a}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ y^2 ={b^2 \over 4a^2} -{c \over a} }[/math]

[math]\displaystyle{ y^2 ={{ab^2 -4a^2c}\over 4a^3} }[/math]

[math]\displaystyle{ y^2 ={{b^2 -4ac}\over 4a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{y^2} = \pm \sqrt{{{b^2 -4ac}\over 2^2 a^2} } }[/math]

[math]\displaystyle{ y = \pm {{\sqrt{b^2 -4ac} }\over {2a} } }[/math]

계속해서

[math]\displaystyle{ x= y- {b \over \mathbf{2} a} }[/math]

[math]\displaystyle{ x= \pm { {\sqrt{b^2 -4ac} }\over {2a} } - {b \over {2a} } }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \therefore x= { { -b\pm \sqrt{b^2 -4ac} } \over {2a} } }[/math]

자연스럽게 근의 공식을 조사할수있다.

3차 방정식 및 4차 방정식에서 근의 공식을 조사할 때도 이를 확인할수있다.

4 같이 보기

• 2차 방정식
• 미분법

5 참고

• 위키백과 "취른하우스 정리"
• 위키낱말사전 "취른하우스 정리"
• 다음사전 "취른하우스 정리"
• 다음백과 "취른하우스 정리"
• 네이버사전 "취른하우스 정리"
• 네이버백과 "취른하우스 정리"
• 나무위키 "취른하우스 정리"
• 리브레 위키 "취른하우스 정리"