힐베르트의 그랜드 호텔 역설

1 개요

Hilbert's paradox of the Grand Hotel

힐베르트의 그랜드 호텔 역설; 힐베르트의 무한 호텔의 역설, 힐베르트 호텔

• 무한 개의 방을 가진 호텔에 관한 사고실험
• 유한집합과는 달리, 무한집합은 직관에 어긋나는 희한한 성질을 보인다는 역설

2 내용

• 객실이 무한히 많은 호텔을 생각해보자.
• 현실에서는 모든 객실이 차면 추가 손님을 받을 수 없다.
• 그러나 무한호텔에서는 모든 객실이 가득 차도 추가 손님을 받을 수 있다.
• 새로운 손님 1명이 오면, n호실 손님을 n+1호실로 이동시켜(1호실 → 2호실, 2호실 → 3호실, 3호실 → 4호실...) 빈방을 1개(1호실) 확보할 수 있다.
• 무한히 많은 손님(단, 가산무한)이 오더라도, n호실 손님을 2n호실로 이동시켜(1호실 → 2호실, 2호실 → 4호실, 3호실 → 6호실...) 빈방을 무한개(홀수번 객실) 확보할 수 있다.

• 무한승객이 탄 무한버스가 오면, 먼저 위의 방법으로 홀수번 객실 확보 후, i번 버스 승객을 pn호실에 수용한다.

1번 버스 승객은 3n호실에, 2번 버스 승객은 5n호실에...

3 설명

• 유한호텔에서는 홀수번 객실수가 전체 객실수보다 적다.
• 무한호텔에서는 홀수번 객실수가 전체 객실수와 같다.

4 같이 보기

• 집합론
• 무한집합
• 가산집합
• 알레프 수
• 갈릴레오의 역설
• 다비트 힐베르트

5 참고

• 영어 위키백과 "Hilbert's paradox of the Grand Hotel"
• 위키백과 "힐베르트 호텔"