3차 방정식

1 개요

cubic equation

3차 방정식

• 변수 x의 최고차항이 3차인 다항방정식
• 일반형: $a{x}^3＋b{x}^2＋c^x＋d＝0$
• 타르탈리아가 일반적인 해법(카르다노의 공식) 발견
• 복소수의 범위에서 3개의 근을 가짐

2 일반화 유도과정

일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져 있다. 스키피오 델 페로(Scipione del Ferro) 및 니콜로 폰타나 타르탈리아(Niccolo Fontana Tartaglia)가 먼저 주요한 발견을 한것으로 알려져있다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 그의 저서 《대수학 원론》에서 이를 소개한바있다.

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$(a\ne 0)$

을 $a$ 로 나누고

$x^3+\frac{b}{a}{x}^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

이어서 취른하우스 정리로부터 $x=y-\frac{b}{3a}$에서

$y^3+\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)y+\left(\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}\right)=0$

계수를 $p,q$로 정리하면

$y^3+py+q=0$

$y=u+v$를 가정하면

$(u+v{)}^3+p(u+v)+q=0$ 이고,

이것은 정리하면,

$u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0$ 이고,

여기서

$u^3+v^3+q=0$ 이면서, $3uv+p=0$ 이면

$u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0$ 을 만족하므로,

$u^3+v^3+q=0$ 와 $3uv+p=0$ 으로부터 $u,v$를 찾으면 거기에서 $y$ 의 값이 구해진다.

$u^3+v^3=-q,uv=-\frac{p}{3}$ 이고 $u^3{v}^3=(uv{)}^3={(-\frac{p}{3})}^3$이다.

이 식은 $u^3\text{와}{v}^3$ 에 관하여 보게된다면 2차 방정식이고 근과 계수의 관계에서

$(x-u^3)(x-v^3)=x^2-(u^3+v^3)x+u^3{v}^3=x^2-(u^3+v^3)x+(uv{)}^3=0$이므로

${\left(u^3\right)}^2+q\left(u^3\right)-{\left(\frac{p}{3}\right)}^3=0$

$u^6+q{u}^3-{\left(\frac{p}{3}\right)}^3=0$

근의 공식으로부터

$u^3=\frac{-q\pm \sqrt{q^2-4{(-\frac{p}{3})}^3}}{2}$

$u^3=\frac{-\frac{q}{\sqrt{4}}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{4{(-\frac{p}{3})}^3}{4}}}{\frac{2}{\sqrt{4}}}$

$u^3=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}-{(-\frac{p}{3})}^3}$

$u$ 와 $v$ 은 대칭이므로 이 두개의 해의 한쪽이 $u^3$ 에 있으면 다른 한쪽은 $v^3$ 이 된다

각각의 세제곱근의 합으로서

$y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}}$

조사할수있다.

$u$의 세제곱근을 취할 때에도 마찬가지로 3개의 경우를 생각하게 되어서 각각 대응하는 $v$를 요구하는 것으로 드무아브르의 정리에 따르면

$y={\omega }^k\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}}+{\omega }^{3-k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}},(k=1,2,3)$

$x=y-\frac{b}{3a}$로부터 $y$를 대입하여 3차방정식을 풀수있다.

3 같이 보기

• 2차 방정식
• 4차 방정식
• 다항 방정식
• 대수학의 기본정리

4 참고

• http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1109454&cid=40942&categoryId=32207