3차 방정식

1 개요

cubic equation

3차 방정식

• 변수 x의 최고차항이 3차인 다항방정식
• 일반형: [math]\displaystyle{ ax^3＋bx^2＋c^x＋d＝0 }[/math]
• 타르탈리아가 일반적인 해법(카르다노의 공식) 발견
• 복소수의 범위에서 3개의 근을 가짐

2 일반화 유도과정

일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져 있다. 스키피오 델 페로(Scipione del Ferro) 및 니콜로 폰타나 타르탈리아(Niccolo Fontana Tartaglia)가 먼저 주요한 발견을 한것으로 알려져있다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 그의 저서 《대수학 원론》에서 이를 소개한바있다.

[math]\displaystyle{ ax^3 + b x^2 + c x + d = 0 }[/math][math]\displaystyle{ (a \ne 0) }[/math]

을 [math]\displaystyle{ a }[/math] 로 나누고

[math]\displaystyle{ x^3 + {{b}\over{a}}x^2 + {{c}\over{a}} x + {{d}\over{a}} = 0 }[/math]

이어서 취른하우스 정리로부터 [math]\displaystyle{ \textstyle x=y- {b \over 3a} }[/math]에서

[math]\displaystyle{ y^3 + \left( {{3ac-b^2}\over{3a^2}} \right) y + \left( {{2b^3-9abc + 27a^2d}\over{27a^3}} \right) = 0 }[/math]

계수를 [math]\displaystyle{ p, q }[/math]로 정리하면

[math]\displaystyle{ y^3 + py + q = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ y = u + v }[/math]를 가정하면

[math]\displaystyle{ (u+v)^3 + p(u+v) + q = 0 }[/math] 이고,

이것은 정리하면,

[math]\displaystyle{ u^3 + v^3 +q+(3uv + p)(u + v) = 0 }[/math] 이고,

여기서

[math]\displaystyle{ u^3 + v^3 +q = 0 }[/math] 이면서, [math]\displaystyle{ 3uv + p = 0 }[/math] 이면

[math]\displaystyle{ u^3 + v^3 +q+(3uv + p)(u + v) = 0 }[/math] 을 만족하므로,

[math]\displaystyle{ u^3 + v^3 +q = 0 \; }[/math] 와 [math]\displaystyle{ \; 3uv + p = 0 }[/math] 으로부터 [math]\displaystyle{ u,v }[/math]를 찾으면 거기에서 [math]\displaystyle{ y }[/math] 의 값이 구해진다.

[math]\displaystyle{ u^3+v^3 =-q \;\;,\;\; uv=-{{p}\over{3}} }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ u^3v^3=(uv)^3=\left(-{{p}\over{3}}\right)^3 }[/math]이다.

이 식은 [math]\displaystyle{ u^3 \text{와} v^3 }[/math] 에 관하여 보게된다면 2차 방정식이고 근과 계수의 관계에서

[math]\displaystyle{ (x - u^3)(x - v^3) = x^2 - (u^3 + v^3)x + u^3v^3 = x^2 - (u^3 + v^3)x + (uv)^3 = 0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \left(u^3\right)^2 + q \left(u^3\right) - \left({p \over 3}\right)^3 = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ u^6 + q u^3 - \left({p \over 3}\right)^3 = 0 }[/math]

근의 공식으로부터

[math]\displaystyle{ u^3 = {{- {q} \pm \sqrt{{q}^2 - 4 \left(-{p \over 3}\right)^3} }\over{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ u^3 = {{- {{q}\over{\sqrt{4}}} \pm \sqrt{{q^2 \over 4} - {{4\left(-{p \over 3}\right)^3}\over{4}} } }\over{{2}\over{\sqrt{4}} }} }[/math]

[math]\displaystyle{ u^3 = - {{q}\over{2}} \pm \sqrt{ {q^2 \over 4} - \left(-{p \over 3}\right)^3 } }[/math]

[math]\displaystyle{ u }[/math] 와 [math]\displaystyle{ v }[/math] 은 대칭이므로 이 두개의 해의 한쪽이 [math]\displaystyle{ u^3 }[/math] 에 있으면 다른 한쪽은 [math]\displaystyle{ v^3 }[/math] 이 된다

각각의 세제곱근의 합으로서

[math]\displaystyle{ y = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} }[/math]

조사할수있다.

[math]\displaystyle{ u }[/math]의 세제곱근을 취할 때에도 마찬가지로 3개의 경우를 생각하게 되어서 각각 대응하는 [math]\displaystyle{ v }[/math]를 요구하는 것으로 드무아브르의 정리에 따르면

[math]\displaystyle{ y = \omega^k \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{3-k} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}, (k=0,1,2) }[/math]

[math]\displaystyle{ x=y- {b \over 3a} }[/math]로부터 [math]\displaystyle{ y }[/math]를 대입하여 3차방정식을 풀수있다.

3 같이 보기

• 2차 방정식
• 4차 방정식
• 다항 방정식

4 참고

• http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1109454&cid=40942&categoryId=32207