일계 선형상미분방정식

1 개요[ | ]

first order linear differential equation
一階線形常微分方程式
일계선형상미분방정식

최고 차수가 1차인 미분 방정식으로, 아래와 같이 나타낼 수 있음
- [math]\displaystyle{ y'+P\left(x\right)y=Q\left(x\right) }[/math]
  - [math]\displaystyle{ Q\left(x\right)=0 }[/math]이면 제차(homogeneous) 상미분방정식이라고 함
  - [math]\displaystyle{ Q\left(x\right)\ne0 }[/math]이면 비제차(inhomogeneous, 또는 nonhomogeneous) 상미분방정식이라고 함

2 미분방정식의 해[ | ]

일계선형상미분방정식의 일반해

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=\frac{\int e^{\int Pdx}Qdx-c}{e^{\int Pdx}} }[/math]

위 식에서 [math]\displaystyle{ c }[/math]는 상수

3 풀이[ | ]

3.1 1계 제차 선형 상미분 방정식[ | ]

[math]\displaystyle{ \displaystyle y'+P\left(x\right)y=0 }[/math]

에서 두번째 항을 이항한 뒤, 양변을 y로 나누어 적분한다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle y'=-Py }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle\frac{y'}{y}=-P }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle\int\frac{y'}{y}dx=\int\left(-P\right)dx+C }[/math]

[math]\displaystyle{ C }[/math]는 적분상수

[math]\displaystyle{ \displaystyle\ln{y}=-\int Pdx+C }[/math]

양변에 밑 [math]\displaystyle{ e }[/math]를 취하면

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=e^{-\int Pdx+C} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle ∴\ y=Ae^{-\int Pdx} }[/math]

[math]\displaystyle{ A }[/math]는 비례상수

3.2 1계 비제차 선형 상미분 방정식[ | ]

[math]\displaystyle{ \displaystyle y'+P\left(x\right)y=Q\left(x\right) }[/math]

에서

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=u\left(x\right)y_h\left(x\right) }[/math]

로 놓는다. (매개변수변화법)
여기에서 [math]\displaystyle{ \displaystyle y_h\left(x\right)=e^{-\int Pdx} }[/math]로, [math]\displaystyle{ y'_h+P\left(x\right)y_h=0 }[/math]을 만족한다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{d}{dx}\left(uy_h\right)=u'y_h+uy'_h }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle u'y_h+uy'_h+Puy_h=Q }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle u'y_h+\left(y'_h+Py_h\right)u=Q }[/math]

좌변의 두 번째 항은 [math]\displaystyle{ y'_h+Py_h=0 }[/math]이므로, 소거된다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle u'y_h=Q }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle u'=\frac{Q}{y_h} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle u=\int\frac{Qdx}{y_h}+c=\int e^{\int Pdx}Qdx+c }[/math]

[math]\displaystyle{ c }[/math]는 적분상수

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=uy_h=\left(\int e^{\int Pdx}Qdx+C\right)e^{-\int Pdx} \\ =\displaystyle\frac{\int e^{\int Pdx}Qdx+c}{e^{\int Pdx}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle ∴\ y=\frac{\int e^{\int Pdx}Qdx+c}{e^{\int Pdx}} }[/math]

4 같이 보기[ | ]