1 개요[ | ]
- epsilon-delta argument
- ε-δ論法
- 엡실론-델타 논법
- 함수의 극한을 엄밀히 정의하는 방법
2 정의[ | ]
실수 부분 집합 [math]\displaystyle{ E\subseteq\mathbb R }[/math]에 정의된 실숫값 함수
- [math]\displaystyle{ f\colon E\to\mathbb R }[/math]
가 [math]\displaystyle{ E }[/math]의 극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)
- [math]\displaystyle{ a\in E' }[/math]
에서 가지는 극한
- [math]\displaystyle{ \lim_{E\ni x\to a}f(x)=L }[/math]
을 엡실론-델타 논법을 통해 정의해 보자. 우선, 표현 '임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]에 대하여, ...' 또는 표기
- [math]\displaystyle{ \forall\epsilon\gt 0\;\cdots }[/math]
는 모든 양의 실수 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math]이 그 뒤에 오는 조건(...)을 예외 없이 만족시킨다는 뜻이다. 표현 '어떤 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하여, ...' 또는 표기
- [math]\displaystyle{ \exists\delta\gt 0\;\cdots }[/math]
는 적어도 하나의 양의 실수 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]가 그 뒤에 오는 조건을 만족시킨다는 뜻이다. 표현 '...는 ...을 함의한다' 또는 표기
- [math]\displaystyle{ \cdots\implies\cdots }[/math]
는 앞의 조건의 만족이 뒤의 조건의 만족을 보장한다는 뜻이다. 또한, 표기
- [math]\displaystyle{ 0\lt |x-a|\lt \delta }[/math]
는 독립 변수의 값 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 일정 값 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 거리 [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 이내이되, [math]\displaystyle{ a }[/math]와 같지 않다는 뜻이며, 표기
- [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\lt \epsilon }[/math]
는 함숫값 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 극한값 [math]\displaystyle{ L }[/math]과 오차 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] 이내라는 뜻이다. 이제, 함수의 극한을 다음과 같이 정의할 수 있다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]에 대하여, 어떤 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하여, 임의의 [math]\displaystyle{ x\in E }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ 0\lt |x-a|\lt \delta }[/math]는 [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\lt \epsilon }[/math]을 함의한다.
이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x\in E\colon\;0\lt |x-a|\lt \delta\implies|f(x)-L|\lt \epsilon }[/math]
즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 일이, 함숫값이 극한값과 그 오차 범위 이내이기를 보장할 수 있다는 것이다.
2.1 거리 공간의 경우[ | ]
거리 공간 [math]\displaystyle{ (X,d_X) }[/math]에서 거리 공간 [math]\displaystyle{ (Y,d_Y) }[/math]로 가는 함수
- [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math]
가 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 극한점
- [math]\displaystyle{ a\in X' }[/math]
에서 가지는 극한
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}f(x)=L }[/math]
의 엡실론-델타 논법을 통한 정의는 다음과 같다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]에 대하여, 어떤 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하여, 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ d_X(x,a)\lt \delta }[/math]는 [math]\displaystyle{ d_Y(f(x),L)\lt \epsilon }[/math]을 함의한다.
이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x\in E\colon\;0\lt d_X(x,a)\lt \delta\implies d_Y(f(x),L)\lt \epsilon }[/math]
3 응용[ | ]
함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.
| 개념 | 엡실론-델타 정의 |
|---|---|
| 점에서 연속 | [math]\displaystyle{ \forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x\in E\colon\;|x-a|\lt \delta\implies|f(x)-f(a)|\lt \epsilon }[/math] |
| 연속 함수 | [math]\displaystyle{ \forall a\in E'\;\forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x\in E\colon\;|x-a|\lt \delta\implies|f(x)-f(a)|\lt \epsilon }[/math] |
| 균등 연속 함수 | [math]\displaystyle{ \forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x,y\in E\colon|x-y|\lt \delta\implies|f(x)-f(y)|\lt \epsilon }[/math] |
3.1 거리 공간의 경우[ | ]
두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.
| 개념 | 엡실론-델타 정의 |
|---|---|
| 점에서 연속 | [math]\displaystyle{ \forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)\lt \delta\implies d_Y(f(x),f(a))\lt \epsilon }[/math] |
| 연속 함수 | [math]\displaystyle{ \forall a\in E'\;\forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)\lt \delta\implies d_Y(f(x),f(a))\lt \epsilon }[/math] |
| 균등 연속 함수 | [math]\displaystyle{ \forall\epsilon\gt 0\;\exists\delta\gt 0\;\forall x,y\in X\colon d_X(x,y)\lt \delta\implies d_Y(f(x),f(y))\lt \epsilon }[/math] |
4 같이 보기[ | ]
5 참고[ | ]
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