고유값, 고유벡터

eigen value
고유값, 고윳값, 고유치

eigenvector, characteristic vector
고유벡터, 특유벡터

고유값

고유값 문서를 참고하십시오.

고유벡터를 선형변환할 때 크기가 변하는 비율
A를 정사각행렬, E를 단위행렬이라 할 때, 방정식 <math>|A-\lambda E|=0</math>의 근 <math>\lambda</math>

<math>A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>

<math>\rm det \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{bmatrix}=0</math>

<math>(c-\lambda)(d-\lambda)-ab=0</math>

고유벡터

고유벡터 문서를 참고하십시오.

<math>AX＝\lambda X</math>를 만족하는 영벡터 이외의 벡터 X^[1]

계산 예시

행렬 <math>A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}</math>일 때, 고유값과 고유벡터를 구하시오.

고유값 구하기

<math>\rm det \begin{bmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 4-\lambda \end{bmatrix}=0</math>^[2]

<math>(3-\lambda)(4-\lambda)-1\cdot2=0</math>

<math>\lambda^2-7\lambda+12-2=0</math>

고유값 <math>\lambda=2,\ 5</math>

고유벡터 구하기

고유값 <math>\lambda=2</math>일 때...

<math>\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>

<math>\begin{bmatrix} 3-2 & 2 \\ 1 & 4-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math>\begin{cases} x + 2y = 0\\ x + 2y = 0 \end{cases}</math>

고유벡터 <math>X=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ -\frac{1}{2}x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix}x</math>^[3]^[4]

같이 보기

참고

↑ <math>\lambda</math>는 고유값
↑ 고유방정식
↑ 단, <math>x</math>는 0이 아닌 임의의 실수
↑ 한편, 고유값 <math>\lambda=5</math>일 때는 고유벡터 <math>X=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}x</math>

[1] <math>\lambda</math>는 고유값

[2] 고유방정식

[3] 단, <math>x</math>는 0이 아닌 임의의 실수

[4] 한편, 고유값 <math>\lambda=5</math>일 때는 고유벡터 <math>X=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}x</math>

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