고유값, 고유벡터

eigen value

고유값, 고윳값, 고유치

eigenvector, characteristic vector

고유벡터, 특유벡터

1 고유값

고유값 문서를 참고하십시오.

• 고유벡터를 선형변환할 때 크기가 변하는 비율
• A를 정사각행렬, E를 단위행렬이라 할 때, 방정식 [math]\displaystyle{ |A-\lambda E|=0 }[/math]의 근 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]

[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \rm det \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{bmatrix}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (c-\lambda)(d-\lambda)-ab=0 }[/math]

2 고유벡터

고유벡터 문서를 참고하십시오.

• [math]\displaystyle{ AX＝\lambda X }[/math]를 만족하는 영벡터 이외의 벡터 X

3 계산 예시

행렬 [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} }[/math]일 때, 고유값과 고유벡터를 구하시오.

3.1 고유값 구하기

[math]\displaystyle{ \rm det \begin{bmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 4-\lambda \end{bmatrix}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (3-\lambda)(4-\lambda)-1\cdot2=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lambda^2-7\lambda+12-2=0 }[/math]

고유값 [math]\displaystyle{ \lambda=2,\ 5 }[/math]

3.2 고유벡터 구하기

고유값 [math]\displaystyle{ \lambda=2 }[/math]일 때...

[math]\displaystyle{ AX=2X }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3-2 & 2 \\ 1 & 4-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y = 0\\ x + 2y = 0 \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x }[/math]

고유벡터 [math]\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ -\frac{1}{2}x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix}x }[/math]

4 같이 보기

• 행렬
• 대각합

5 참고

• http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors
• http://terms.naver.com/entry.nhn?cid=200000000&docId=1062181&categoryId=200000452
• http://terms.naver.com/entry.nhn?cid=200000000&docId=1062173&categoryId=200000449