계단 함수

1 개요[ | ]

step function, staircase function
階段函數
계단 함수

구간의 지시 함수의 유한 선형 결합인 함수
함수의 정의역이 서로 겹치지 않는 구간들로 나누어져 있고, 각각의 구간에서 함숫값이 일정한 상수인 함수
그래프가 계단 모양으로 나타난다.

2 정의[ | ]

함수 [math]\displaystyle{ s\colon I\to\mathbb R }[/math] ([math]\displaystyle{ I\subseteq\mathbb R }[/math]는 구간)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 [math]\displaystyle{ s }[/math]를 계단 함수라고 한다.

[math]\displaystyle{ \textstyle s=\sum_{k=1}^nc_k1_{J_k} }[/math]를 만족시키는 [math]\displaystyle{ c_1,\dots,c_n\in\mathbb R }[/math] 및 구간 [math]\displaystyle{ J_1,\dots,J_n\subseteq I }[/math]이 존재한다. (여기서 [math]\displaystyle{ 1_{J_k} }[/math]는 지시 함수이다.)
모든 [math]\displaystyle{ s|_{(p_{i-1},p_i)} }[/math]가 상수 함수이게 되는 [math]\displaystyle{ \inf I=p_0\lt p_1\lt \cdots\lt p_n=\sup I }[/math]가 존재한다. (여기서 [math]\displaystyle{ \inf }[/math]는 하한, [math]\displaystyle{ \sup }[/math]는 상한이다.)

3 성질[ | ]

3.1 연산에 대한 닫힘[ | ]

두 계단 함수의 합과 곱은 여전히 계단 함수이다. 이에 따라 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math] 위의 계단 함수의 집합은 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]-대수를 이룬다.

3.2 적분[ | ]

계단 함수의 적분은 조각마다 일차 함수이다.

4 예[ | ]

다음과 같은 함수는 [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math] 위의 계단 함수이다.

[math]\displaystyle{ s(x)= \begin{cases}5&x\in[0,1)\\-1&x=1\\2&x\in(1,2)\\9&x\in[2,3] \end{cases} }[/math]

5 같이 보기[ | ]

6 참고[ | ]