하우스도르프 차원

1 개요

거리 공간의 부분집합의 차원을 음이 아닌 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것
집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]와 반지름 [math]\displaystyle{ r }[/math]이 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ S }[/math]를 [math]\displaystyle{ N(r) }[/math]개의 공으로 덮을 수 있다고 하면 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ d }[/math]는 [math]\displaystyle{ r }[/math]이 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]으로 갈 때 [math]\displaystyle{ N(r) }[/math]가 [math]\displaystyle{ r^{-d} }[/math]로 수렴하게 만드는 유일한 실수 [math]\displaystyle{ d }[/math]를 말한다.
거리 공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X) := \inf {\left\{ d \ge 0 : \operatorname{H}^d(X) = 0 \right\} } }[/math]^[1]

어떤 차원의 물체를 n등분하여 분할된 닮음 도형이 [math]\displaystyle{ N=n^D }[/math]개 생겼을 때, D^[2]는 이 물체의 하우스도르프 차원

유클리드 공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]의 하우스도르프 차원은 [math]\displaystyle{ n }[/math]
원 [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]의 하우스도르프 차원은 1
가산 집합의 하우스도르프 차원은 0
칸토르 집합은 자기 자신과 닮았고 크기가 ⅓인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 2/\log 3\approx0.63 }[/math]
코흐 곡선의 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log_4/\log_3\approx1.2618 }[/math]
시에르핀스키 삼각형은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 3/\log 2\approx1.58 }[/math]

↑ 단, [math]\displaystyle{ \operatorname{H}^d(X) }[/math]는 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 [math]\displaystyle{ d }[/math]차원에서의 하우스도르프 측도
↑ [math]\displaystyle{ D=\log_nN }[/math]