하우스도르프 차원

1 개요[ | ]

Hausdorff dimension
하우스도르프 차원
  • 거리 공간의 부분집합의 차원을 음이 아닌 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것
  • 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]와 반지름 [math]\displaystyle{ r }[/math]이 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ S }[/math][math]\displaystyle{ N(r) }[/math]개의 으로 덮을 수 있다고 하면 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ d }[/math][math]\displaystyle{ r }[/math][math]\displaystyle{ 0 }[/math]으로 갈 때 [math]\displaystyle{ N(r) }[/math][math]\displaystyle{ r^{-d} }[/math]로 수렴하게 만드는 유일한 실수 [math]\displaystyle{ d }[/math]를 말한다.
  • 거리 공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ \operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X) := \inf {\left\{ d \ge 0 : \operatorname{H}^d(X) = 0 \right\} } }[/math][1]
  • 어떤 차원의 물체를 n등분하여 분할된 닮음 도형이 [math]\displaystyle{ N=n^D }[/math]개 생겼을 때, D[2]는 이 물체의 하우스도르프 차원

 

2 예시[ | ]

  • 유클리드 공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]의 하우스도르프 차원은 [math]\displaystyle{ n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]의 하우스도르프 차원은 1
  • 가산 집합의 하우스도르프 차원은 0
  • 칸토어 집합은 자기 자신과 닮았고 크기가 ⅓인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 2/\log 3\approx0.63 }[/math]
  • 코흐 곡선의 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 4/\log 3\approx1.2618 }[/math]
  • 시에르핀스키 삼각형은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 3/\log 2\approx1.58 }[/math]

3 같이 보기[ | ]

4 주석[ | ]

  1. 단, [math]\displaystyle{ \operatorname{H}^d(X) }[/math][math]\displaystyle{ X }[/math][math]\displaystyle{ d }[/math]차원에서의 하우스도르프 측도
  2. [math]\displaystyle{ D=\log_nN }[/math]

5 참고[ | ]

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