황금비

1 개요

golden ratio, golden mean, golden section, extreme and mean ratio, medial section, divine proportion, divine section, golden proportion, golden cut, golden number
黃金比, 黃金分割
황금비, 황금 분할

황금비 [math]\displaystyle{ \color{Blue}\varphi }[/math](phi)는 선분을 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] 길이로 둘로 나눌 때, 다음과 같은 값으로 정의된다.

[math]\displaystyle{ {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi }[/math]

이 때,

[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1 \qquad\qquad(*) }[/math]

가 성립하고, [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} = \varphi }[/math]를 대입하면

[math]\displaystyle{ \varphi^2=\varphi+1\, }[/math]

라는 이차방정식이 나오고, [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 이 방정식의 두 근 중 양수 근이 된다.

[math]\displaystyle{ \varphi^2-\varphi-1=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over{2a}} }[/math] (근의 공식)

[math]\displaystyle{ ={{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}\over{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ ={{1\pm\sqrt{1+4}}\over{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ ={{1\pm\sqrt{5}}\over{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{...}}}}=\varphi }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}=\varphi }[/math]