"드무아브르의 공식"의 두 판 사이의 차이

2022년 2월 19일 (토) 19:13 판

드무아브르의 정리(de Moivre의定理, de Moivre's theorem) 또는 드무아브르의 공식(de Moivre's formula)은 i를 허수, θ를 실수, n을 유리수라고 할 때,

[math]\displaystyle{ \left( cos\theta + isin\theta \right)^n = \left( cos_n \theta + isin_n \theta \right) }[/math]의 등식이 성립한다는 진리로 증명된 명제.

수학자 드무아브르의 이름을 따왔다.

복소평면상에서

[math]\displaystyle{ x^3=1 }[/math]일때

[math]\displaystyle{ x^3 -1= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( x -1 \right)\left( x^2 +x +1 \right)= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left({x - 1}\right)=0 }[/math] 그리고 [math]\displaystyle{ \left( x^2 +x +1 \right)= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] 이고

[math]\displaystyle{ \left( x^2 +x +1 \right)= x^2 +x +1 }[/math] 의 2차방정식 근의 공식에 의해

[math]\displaystyle{ x= {-1 \pm \sqrt{-3} \over 2}={-1 \pm \sqrt{3}i \over 2} }[/math]

드무아브르의 정리에 따라 복소근 [math]\displaystyle{ \omega^1 , \omega^2 ,\omega^3 }[/math]를

[math]\displaystyle{ - {{1}\over{2}} + \sqrt {{3}\over{2}}i , - {{1}\over{2}} - \sqrt {{3}\over{2}}i , 1 }[/math]를 조사할수있다.

드무아브르의 정리에 따라

[math]\displaystyle{ \omega^1 \cdot \omega^1 = \omega^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \omega^1 \cdot \omega^2 = \omega^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \omega^3 = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \omega^1 + \omega^2 + \omega^3 = 0 }[/math]이다.

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 복소평면상에서
 :<math>x^3=1</math>일때
+:<math>x^3 -1= 0 </math>
+:<math> \left( x -1 \right)\left( x^2 +x +1 \right)= 0 </math>
+:<math> \left({x - 1}\right)=0</math> 그리고 <math>\left( x^2 +x +1 \right)= 0 </math>
+:<math> x = 1</math> 이고
+:<math>\left( x^2 +x +1 \right)=   x^2 +x +1</math> 의 2차방정식 [[근의 공식]]에 의해
+:<math> x= {-1 \pm  \sqrt{-3} \over 2}={-1 \pm  \sqrt{3}i \over 2}</math>
 :드무아브르의 정리에 따라 복소근 <math>\omega^1 , \omega^2 ,\omega^3</math>를
 :<math>  - {{1}\over{2}} + \sqrt {{3}\over{2}}i , - {{1}\over{2}} - \sqrt {{3}\over{2}}i  , 1</math>를 조사할수있다.