1 개요[ | ]
- 삼각함수의 계산
- 저자: Jjw
- 2015-04-11
지난 번에 쓴 노트인 무리수의 계산에서 아르키메데스가 원주율을 계산한 방법을 언급한 일이 있다. 아르키메데스의 방법을 응용하면 삼각함수 역시 손으로 계산이 가능하다.
아래의 그림과 같이 원의 반지름을 이용하여 직각삼각형을 그리면, 삼각함수의 정의에 따라 직각삼각형의 x 축은 코사인 값이 되고 y축은 사인 값이 된다. 둘 중 하나만 알면 [math]\displaystyle{ \cosθ^2 + sinθ^2 = 1 }[/math] 의 관계를 이용하여 다른 쪽 값을 알 수가 있다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \cos 30˚ = \sqrt{3}/2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sin 30˚= \sqrt{1 - (\sqrt{3}/2)^2} = 1/2 }[/math]
cos15˚ 는 아래 그림과 같이 계산하여 알 수 있다.
마찬가지로 cos 7.5˚, cos 3.75˚, cos 1.825˚, cos 0.9125˚ 도 계산할 수 있다. 이와 같이 60˚ 에서 시작하여 각도를 반으로 줄여 나갈 때 코사인 값은 매우 규칙적인 수열로 계산된다. 아래의 그림과 표는 매우 자명한 값들을 적어 놓은 것이다. 위에서 cos 15˚를 구한 방식을 적당히 활용하면 구할 수 있다. 또한, 위에서 다룬 중심각이 15˚인 경우를 살펴보면, 중심각이 15˚인 이등변삼각형을 생각할 수 있고, 이 때 다른 두 각의 크기는 각각 82.5˚ 이므로( (180-15)/2 = 82.5 ) 계산을 통해 cos 82.5˚도 구할 수 있다. (할 일이 정말 없어서 심심하면 해보자. 종이와 연필만 있으면 한 시간은 쉽게 보낼 수 있다. 응?)
| 코사인 | 참값 | 근사값 | 라디안 |
|---|---|---|---|
| cos 60˚ | [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] | 0.5 | 1/3 π |
| cos 30˚ | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | 0.866025404 | 1/6 π |
| cos 15˚ | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} }[/math] | 0.965925826 | 1/12 π |
| cos 7.5˚ | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2} }[/math] | 0.991444861 | 1/24 π |
| cos 3.75˚ | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}{2} }[/math] | 0.997858923 | 1/48 π |
| cos 1.875˚ | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{2} }[/math] | 0.999464587 | 1/96 π |
| cos 0.9375˚ | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}}{2} }[/math] | 0.999866138 | 1/192 π |
원주율은 초월수이기 때문에 적당한 다항 방정식으로 나타낼 수 없다. 즉 [math]\displaystyle{ ax^n + bx^{n-1} + … + zx + c }[/math] 와 같은 방식으로 나타낼 수 없다는 뜻이다. 수 가운데에는 다항식 정리가 가능한 대수적 수 보다 그렇지 못한 초월수 가 더 많다. 삼각함수의 값 역시 자명한 몇 가지 각도의 경우 외에는 무리수이자 초월수이며, 간단한 다항식 정리를 통해 계산할 수 없다. 거꾸로 널리 알려진 세 변의 길이가 3, 4, 5 인 직각 삼각형에서 직각이 아닌 다른 두 각의 크기 역시 다항식 정리로 계산되지 못한다.
삼각함수는 결국 위와 같은 방법을 동원해서 하나 하나 계산해 주는 수 밖에 없다. 이걸 매번 하자면 얼마나 힘든 일인가. 그래서 미리 계산하여 둔 표를 쓰는 것이 여러 모로 현명하다. 구글에게 적당히 물어봐서 사용하면 된다.
한편, 엑셀에서 코사인을 구하려면 셀에 다음과 같이 써 넣으면 된다.
=cos(radians(각도))
엑셀의 코사인 함수는 라디안을 기준으로 코딩되어 있는데, 위에 있는 표와 같이 60˚ 는 1/3 π 라디안이다. (360˚ = 2π 라디안) 라디안은 수학에서 각도를 표기하는 방식 가운데 하나다. (이것도 궁금하면 구글에게 물어보자) radians(n) 함수는 n 을 라디안 값으로 변환해준다. 예를 들어 radians(60)= 0.10471975511966 로 계산한다. 옛날에는 엑셀에서 cos90˚, 즉 =cos(radians(90)) 을 넣으면 6.12574E-17 라는 생뚱맞은 답을 토해냈지만, 최근 버전에선 버그를 잡아서 깔끔하게 0 이라고 표기해준다.
2 같이 보기[ | ]
3 참고[ | ]
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