개요
- second order homogeneous ordinary differential equation with constant coefficients
- 常係數二階第次線形常微分方程式
- 상계수이계제차상미분방정식
- 최고 차수가 2차이며, 계수가 모두 상수인 제차 선형 상미분방정식으로, 아래와 같이 나타낼 수 있음.
- <math>\displaystyle y+ay'+by=0</math>
- <math>a,\ b</math>는 상수
미분방정식의 해
- 상계수 이계 제차 상미분방정식의 특성방정식은 <math>\lambda^2+a\lambda+b=0</math>
특성방정식이 서로 다른 두 실근 <math>\lambda_1,\ \lambda_2</math>를 갖는 경우의 일반해 <math>\displaystyle y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}</math>
특성방정식이 서로 다른 두 허근 <math>p\pm iq</math>를 갖는 경우의 일반해 <math>\displaystyle y=e^{px}\left(A\cos{qx}+B\sin{qx}\right)</math>
- <math>p,\ q</math>는 실수
특성방정식이 중근 <math>\lambda</math>를 갖는 경우의 일반해 <math>\displaystyle y=\left(Ax+B\right)e^{\lambda x}</math>
풀이
- <math>\displaystyle (1)\quad y+ay'+by=0</math>
에서
- <math>\displaystyle y=e^{\lambda x}</math>
로 놓으면,
- <math>\displaystyle (2)\quad y'=\lambda e^{\lambda x}</math>
- <math>\displaystyle (3)\quad y=\lambda^2 e^{\lambda x}</math>
(2), (3)을 (1)에 대입하면,
- <math>\displaystyle \left(\lambda^2+a\lambda+b\right)e^{\lambda x}=0</math>
지수함수는 0이 될 수 없으므로, 특성 방정식은
- <math>\lambda^2+a\lambda+b=0</math>
이다.
특성방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 경우
특성방정식의 두 근을 <math>\lambda_1,\ \lambda_2</math>라고 하면,
- <math>\displaystyle y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}</math>
특성방정식이 서로 다른 두 허근을 가질 경우
특성방정식의 두 근을 <math>p+iq,\ p-iq</math> <math>(p,\ q\text{는 실수})</math>라고 하면,
- <math>\displaystyle y=c_1e^{\left(p+iq\right)x}+c_2e^{\left(p-iq\right)x} \\
\displaystyle=e^{px}\left(c_1e^{iqx}+c_2e^{-iqx}\right) \\ \displaystyle=e^{px}\left(A\cos{qx}+B\sin{qx}\right)</math>
만약 두 근이 순허수일 경우, 감쇠비(damping ratio) 없이 cos함수와 sin함수의 선형결합으로만 표현된다.
특성방정식이 중근을 가질 경우
해당 특성방정식(이차방정식)의 중근은 <math>\displaystyle\lambda=-\frac{a}{2}</math>이다.
첫 번째 기저는 <math>\displaystyle y_1=e^{\lambda x}</math>이며, 두 번째 기저는 다음과 같이 구할 수 있다.
- <math>\displaystyle y_2=y_1\int\frac{dx}{\left[y_1\left(x\right)\right]^2e^{\int Pdx}}</math>
<math>\displaystyle P=a,\ y_1=e^{\lambda x}</math>를 대입하면
- <math>\displaystyle y_2=e^{\lambda x}\int\frac{dx}{e^{2\lambda x}e^{ax}} \\
\displaystyle=e^{\lambda x}\int dx=xe^{\lambda x}</math> <math>\displaystyle ∴\ y=\left(Ax+B\right)e^{\lambda x}</math>