반복합성함수

1 개요

iterated function

반복함수, 반복합성함수

• 같은 함수를 반복하여 합성(적용)하는 것

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^2(x)=f( f(x) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^3(x)=f( f^2(x) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^4(x)=f( f^3(x) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ f^n(x)=f( f^{n-1}(x) ) }[/math]

2 궤도

• 적당한 대상을 초기값으로서 반복함수를 적용하여 얻는 값들
• 어떤 값에 대해 반복합성함수의 값을 나열한 것
• [math]\displaystyle{ f^n(x) }[/math]의 수열

[math]\displaystyle{ f(a), f^2(a), f^3(a), \cdots, f^n(a) }[/math]

2.1 예시 1: 순환하는 경우

[math]\displaystyle{ x=2 }[/math]에서 함수 [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x-1}{3x+1} }[/math]의 궤도

[math]\displaystyle{ f(2)=\frac{1}{7} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^2(2)=f\left(\frac{1}{7}\right)=-\frac{3}{5} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^3(2)=f\left(-\frac{3}{5}\right)=2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^4(2)=f(2)=\frac{1}{7} }[/math]

궤도: [math]\displaystyle{ \frac{1}{7}, -\frac{3}{5}, 2, \frac{1}{7}, -\frac{3}{5}, 2, \cdots }[/math]

2.2 예시 2: 순환하지 않는 경우

[math]\displaystyle{ x=1 }[/math]에서 함수 [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+1} }[/math]의 궤도

[math]\displaystyle{ f(2)=\frac{1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^2(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^3(2)=f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{5} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^4(2)=f\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{5}{8} }[/math]

궤도: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \cdots }[/math]

3 같이 보기

• 합성함수
• 반복함수계
• 반복법
• 회전수
• Sarkovskii의 정리
• 점화식
• 슈뢰더 방정식
• 슈퍼 함수

4 참고

• 영어 위키백과 "Iterated function"