2015년 일본 수학 올림픽 본선 문제

1 개요[편집]

2015年日本数学オルリクピク本選
2015년 일본 수학올림픽 본선
2015 일본수학올림피아드 본선
  • 2015년 2월 11일
  • 시험시간: 4시간
  • 문항 수: 5개

2 1번[편집]

[math]\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}[/math]이 정수가 되게 하는 양의 정수 [math]n[/math]을 모두 구하시오.

3 2번[편집]

[math]n[/math][math]2[/math] 이상인 정수라고 하자. 한 변의 길이가 [math]n[/math]인 정육각형 [math]ABCDEF[/math]은, 왼쪽 그림과 같이 길이가 [math]1[/math]인 정삼각형으로 분할된다. 정삼각형의 꼭지점을 간단히 '꼭지점'이라고 하자.

Jmo25mq-2.jpg

정육각형 [math]ABCDEF[/math]의 중심에 말이 놓여 있다. 오른쪽 그림과 같이 정육각형 [math]ABCDEF[/math]의 내부(둘레는 포함하지 않음)에 있는 꼭지점 [math]P[/math] 각각에 대해, [math]P[/math]에서 길이가 [math]1[/math]인 변으로 연결된 꼭지점 [math]6[/math]개 중 [math]4[/math]개를 향해 화살표가 그려져 있어, 꼭지점 [math]P[/math]에 말이 놓여있을 때 그 [math]4[/math] 방향 중 하나로 말을 움직이는 것이 가능하다. 단, 길이가 [math]1[/math]인 변 [math]PQ[/math]에 대해, 꼭지점 [math]P[/math]에서 꼭지점 [math]Q[/math]로 말을 움직이는 것이 가능하더라도 꼭지점 [math]Q[/math]에서 꼭지점 [math]P[/math]로 말을 움직이는 것이 가능하다고만은 할 수 없다.

이 때, 화살표가 어떻게 그려져 있더라도 말을 최대 [math]k[/math]번 움직여서 정육각형 [math]ABCDEF[/math]의 둘레 위에 있는 꼭지점에 도착시킬 수 있는 정수 [math]k[/math]가 존재함을 보이고, [math]k[/math]의 최소값을 구하시오.

4 3번[편집]

양의 정수로 된 수열 [math]\{a_n\} (n=1,2,⋯)[/math]상승수열[1]이라는 것은, 임의의 양의 정수 [math]n[/math]에 대해 [math]a_n \lt a_{n+1}[/math]이고 [math]a_{2n}=2a_n[/math]인 것을 말한다.

(1) 수열 [math]\{a_n\}[/math]이 상승수열이라 하자. [math]p[/math][math]a_1[/math]보다 큰 소수일 때, 이 수열은 [math]p[/math]의 배수를 포함하고 있음을 보여라.

(2) [math]p[/math]를 홀수인 소수라 하자. 상승수열이며, 모든 [math]p[/math]의 배수를 포함하지 않는 수열 [math]\{a_n\}[/math]이 존재함을 보여라.

5 4번[편집]

이등변삼각형이 아닌 삼각형 [math]ABC[/math]가 있고, 그 외접원을 [math]Γ[/math], 내심을 [math]I[/math]라 하자. 또한, 삼각형 [math]ABC[/math]의 내접원과 변 [math]AB,\ AC[/math]의 접점을 각각 [math]D,\ E[/math]라 하자. 삼각형 [math]BEI[/math]의 외접원과 [math]Γ[/math]의 교점 중 [math]B[/math]가 아닌 점을 [math]P[/math], 삼각형 [math]CDI[/math]의 외접원과 [math]Γ[/math]의 교점 중 [math]C[/math]가 아닌 점을 [math]Q[/math]라 할 때, 네 점 [math]D,\ E,\ P,\ Q[/math]가 같은 원주상에 있음을 보여라.

6 5번[편집]

[math]a[/math]가 양의 정수라 하자. 충분히 큰 정수 [math]n[/math]에 대해 다음이 성립함을 보여라:

무한히 이어지는 모눈 중에서 [math]n[/math]개의 칸을 골라 검은색으로 칠한다. 이 때 [math]a×a[/math]의 칸 내에 정확히 [math]a[/math]개의 칸이 검은색으로 칠해져 있는 경우의 수를 [math]K[/math]라 하자. K의 최대값은 [math]a(n+1-a)[/math]이다.

단, 충분히 큰 정수 [math]n[/math]에 대해 성립한다는 것은, 어떤 정수 [math]N[/math]이 존재하여 임의의 [math]n≥N[/math]에 대해 성립함을 말한다.

7 주석[편집]

  1. 원문은 상승적

8 참고[편집]

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