1 개요[ | ]
- hyperoperation
- hyper演算
- 하이퍼 연산
- 일련의 연산
- 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 일반화함
2 정의[ | ]
a에 대한 n차 하이퍼 연산을 [math]\displaystyle{ H_n(a,b) }[/math]라고 할 때,
- [math]\displaystyle{ \displaystyle H_n(a,b)=
\begin{cases}
b+1&(n=0)\\
a&(n=1,b=0)\\
0&(n=2,b=0)\\
1&(n\ge3,b=0)\\
H_{n-1}(a, H_n(a, b - 1))&\text{otherwise}
\end{cases} }[/math]
- 위에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]는 밑, [math]\displaystyle{ b }[/math]는 지수(또는 하이퍼 지수), [math]\displaystyle{ n }[/math]은 계수라고 한다.
- 각각의 n에 대해, n=4일 때 테트레이션(tetration), n=5일 때 펜테이션(pentation), ..., (n을 뜻하는 그리스어 접두사)-tion부른다.
3 표기법[ | ]
| 이름 |
[math]\displaystyle{ H_n(a, b) }[/math]에 대응되는 표기 |
조건 |
비고
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| 커누스 윗화살표 표기법 |
[math]\displaystyle{ a\uparrow^{n-2} b }[/math] |
[math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] |
커누스가 사용함
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| 굿스틴 표기법 |
[math]\displaystyle{ G(n, a, b) }[/math] |
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Goodstein이 사용함
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| 초기 아커만 함수
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[math]\displaystyle{
\begin{matrix}
\phi(a, b, n-1) \ (1\le n\le 3)\\
\phi(a, b-1, n-1) \ (n\ge4)
\end{matrix}
}[/math]
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빌헬름 아커만이 사용함
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| 아커만 함수 |
[math]\displaystyle{ A(n,b-3)+3 }[/math] |
[math]\displaystyle{ a=2 }[/math]
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| 상자 표기법 |
[math]\displaystyle{ a {\,\begin{array}{|c|}\hline{\!n\!}\\\hline\end{array}\,} b }[/math] |
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Rubtsov와 Romerio가 사용함
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| 위첨자 표기법 |
[math]\displaystyle{ a {}^{(n)} b }[/math] |
로버트 무나포가 사용함
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| 아래첨자 표기법 |
[math]\displaystyle{ a {}_{(n)} b }[/math]
|
| 연산자 표기법 |
[math]\displaystyle{ a O_{n-1} b }[/math] |
[math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math] |
John Donner와 Alfred Tarski가 사용함
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| 대괄호 표기법 |
[math]\displaystyle{ a[n]b }[/math] |
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인터넷상에서 ASCII의 편의성에 의해 자주 사용됨
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| Conway 연쇄 화살표 표기 |
[math]\displaystyle{ a\to b\to\left(n-2\right) }[/math] |
[math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] |
John Horton Conway가 사용함
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| Bowers' Exploding Array Function |
[math]\displaystyle{ \{a,b,n,1\} }[/math] |
[math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math] |
조나단 바워스가 사용함
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4 예시[ | ]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle a\uparrow^{n-2}b=H_n(a, b) }[/math]의 연산 과정과 결과는 아래와 같다.
| [math]\displaystyle{ n }[/math] |
연산 과정 |
결과 |
비고
|
| [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle 1+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ b+1 }[/math] |
|
| [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle a+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ a+b }[/math] |
덧셈
|
| [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a+a+\cdots+a}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ a\times b }[/math] |
곱셈
|
| [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ a^b }[/math] |
거듭제곱
|
| [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ a\uparrow\uparrow b }[/math] |
테트레이션(tetration)
|
| [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow a}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ a\uparrow\uparrow\uparrow b }[/math] |
펜테이션(pentation)
|
| [math]\displaystyle{ n=6 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\uparrow\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow\uparrow a}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ a\uparrow^4b }[/math] |
헥세이션(hexation)
|
| [math]\displaystyle{ \vdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ n }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\uparrow^{n-3}a\uparrow^{n-3}a\uparrow^{n-3}\cdots\uparrow^{n-3} a}_{b\text{개}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ a\uparrow^{n-2}b }[/math] |
(n을 의미하는 그리스어 접두사)+'-tion'
|
5 같이보기[ | ]
6 참고[ | ]
네이버백과 "하이퍼 연산"