하이퍼 연산

1 개요[ | ]

hyperoperation
hyper 演算
하이퍼 연산

일련의 연산
덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 일반화함

2 정의[ | ]

a에 대한 n차 하이퍼 연산을 [math]\displaystyle{ H_n(a,b) }[/math]라고 할 때,

[math]\displaystyle{ \displaystyle H_n(a,b)= \begin{cases} b+1&(n=0)\\ a&(n=1,b=0)\\ 0&(n=2,b=0)\\ 1&(n\ge3,b=0)\\ H_{n-1}(a, H_n(a, b - 1))&\text{otherwise} \end{cases} }[/math]
- 위에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]는 밑, [math]\displaystyle{ b }[/math]는 지수(또는 하이퍼 지수), [math]\displaystyle{ n }[/math]은 계수라고 한다.
- 각각의 n에 대해, n=4일 때 테트레이션(tetration), n=5일 때 펜테이션(pentation), ..., (n을 뜻하는 그리스어 접두사)-tion부른다.

3 표기법[ | ]

표기법이 매우 다양함

이름	[math]\displaystyle{ H_n(a, b) }[/math]에 대응되는 표기	조건	비고
커누스 윗화살표 표기법	[math]\displaystyle{ a\uparrow^{n-2} b }[/math]	[math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math]	커누스가 사용함
굿스틴 표기법	[math]\displaystyle{ G(n, a, b) }[/math]		Goodstein이 사용함
초기 아커만 함수	[math]\displaystyle{ \begin{matrix} \phi(a, b, n-1) \ (1\le n\le 3)\\ \phi(a, b-1, n-1) \ (n\ge4) \end{matrix} }[/math]		빌헬름 아커만이 사용함
아커만 함수	[math]\displaystyle{ A(n,b-3)+3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a=2 }[/math]	빌헬름 아커만이 사용함
상자 표기법	[math]\displaystyle{ a {\,\begin{array}{\|c\|}\hline{\!n\!}\\\hline\end{array}\,} b }[/math]		Rubtsov와 Romerio가 사용함
위첨자 표기법	[math]\displaystyle{ a {}^{(n)} b }[/math]		로버트 무나포가 사용함
아래첨자 표기법	[math]\displaystyle{ a {}_{(n)} b }[/math]		로버트 무나포가 사용함
연산자 표기법	[math]\displaystyle{ a O_{n-1} b }[/math]	[math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math]	John Donner와 Alfred Tarski가 사용함
대괄호 표기법	[math]\displaystyle{ a[n]b }[/math]		인터넷상에서 ASCII의 편의성에 의해 자주 사용됨
Conway 연쇄 화살표 표기	[math]\displaystyle{ a\to b\to\left(n-2\right) }[/math]	[math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math]	John Horton Conway가 사용함
Bowers' Exploding Array Function	[math]\displaystyle{ \{a,b,n,1\} }[/math]	[math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math]	조나단 바워스가 사용함

4 예시[ | ]

[math]\displaystyle{ \displaystyle a\uparrow^{n-2}b=H_n(a, b) }[/math]의 연산 과정과 결과는 아래와 같다.

[math]\displaystyle{ n }[/math]	연산 과정	결과	비고
[math]\displaystyle{ n=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle 1+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ b+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ n=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle a+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a+b }[/math]	덧셈
[math]\displaystyle{ n=2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a+a+\cdots+a}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a\times b }[/math]	곱셈
[math]\displaystyle{ n=3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a^b }[/math]	거듭제곱
[math]\displaystyle{ n=4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a\uparrow\uparrow b }[/math]	테트레이션(tetration)
[math]\displaystyle{ n=5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow a}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a\uparrow\uparrow\uparrow b }[/math]	펜테이션(pentation)
[math]\displaystyle{ n=6 }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\uparrow\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow\uparrow a}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a\uparrow^4b }[/math]	헥세이션(hexation)
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]	[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]	[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]	[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ n }[/math]	[math]\displaystyle{ \displaystyle \underbrace{a\uparrow^{n-3}a\uparrow^{n-3}a\uparrow^{n-3}\cdots\uparrow^{n-3} a}_{b\text{개}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a\uparrow^{n-2}b }[/math]	(n을 의미하는 그리스어 접두사)+'-tion'

5 같이보기[ | ]

6 참고[ | ]