컴팩트 공간

1 개요[ | ]

compact space
컴팩트 공간, 콤팩트 공간, 옹골집합

대략 경계 없이 무한히 뻗어나가지 않는 공간
주어진 위상에 대하여 전체가 컴팩트 집합이 되는 위상 공간.
유클리드 공간의 부분 집합의 경우, 이는 닫힌 유계 집합과 동치이다.

2 정의[ | ]

위상 공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 컴팩트 공간이라고 한다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]의 모든 열린 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다. 즉, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 열린 집합들의 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal U }[/math]에 대하여, 만약 [math]\displaystyle{ \bigcup\mathcal U=X }[/math]라면, [math]\displaystyle{ \bigcup\mathcal U' = X }[/math]인 유한 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal U'\subset\mathcal U }[/math]가 존재한다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 닫힌 부분집합들의 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal C\subset\mathcal P(X) }[/math]가 유한 교집합 성질(finite intersection property)을 만족한다면, [math]\displaystyle{ \bigcap C\ne\varnothing }[/math]이다.
[math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 임의의 필터 [math]\displaystyle{ \mathcal F\subset\mathcal P(X) }[/math]에 대하여, (하나 이상의 점으로) 수렴하는 필터 [math]\displaystyle{ \mathcal F'\supset\mathcal F }[/math]가 존재한다.
[math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 임의의 극대 필터는 (하나 이상의 점으로) 수렴한다.

3 성질[ | ]

컴팩트 공간의 닫힌 집합은 컴팩트 공간이다. 임의의 수의 컴팩트 공간들의 곱공간은 컴팩트 공간이다 (티호노프 정리).

하우스도르프 공간의 컴팩트 부분 집합은 닫힌 집합이다.

그러나 이는 하우스도르프 공간이 아닌 공간에서는 성립하지 않을 수 있다.

어떤 합집합에 의해 보존되는 성질이 컴팩트 공간에서 국소적으로 성립한다면, 이는 대역적으로도 성립한다.^[1]^:18 즉, 위상 공간의 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
어떤 위상 공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math]가 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 만족시키면, [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math] 역시 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 만족시킨다.

위상 공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]에서, 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]가 국소적으로 성립한다고 하자. 즉,

임의의 점 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대하여, 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 만족시키는 열린 근방 [math]\displaystyle{ N\ni x }[/math]가 존재한다.

그렇다면 [math]\displaystyle{ X }[/math]는 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 (대역적으로) 만족시킨다.

3.1 유클리드 공간의 컴팩트 집합[ | ]

유클리드 공간 [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math]의 임의의 부분 집합 [math]\displaystyle{ S\subset\mathbb R^n }[/math]에 대해 다음 조건들이 서로 동치이다.

[math]\displaystyle{ S }[/math]는 컴팩트 집합이다.
(하이네-보렐 정리) [math]\displaystyle{ S }[/math]는 닫힌 집합이며 유계 집합이다.
[math]\displaystyle{ S }[/math]는 가산 컴팩트 집합이다.
[math]\displaystyle{ S }[/math]는 점렬 컴팩트 공간이다.
[math]\displaystyle{ S }[/math]는 극한점 컴팩트 공간이다.

4 예[ | ]

[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]의 부분집합 중 닫힌 구간 [0, 1]은 컴팩트이나, 정수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]는 유계 집합이 아니므로 컴팩트하지 않다. 또한, 반열린 구간 [0, 1)도 닫혀 있지 않으므로 컴팩트하지 않다.

공집합은 컴팩트 공간이다.
임의의 유한 집합은 어떤 위상이 주어지든 컴팩트하다. 보다 일반적으로, 유한 위상(유한 집합의 숫자가 유한개)이 주어진 임의의 위상 공간은 컴팩트하다.
닫힌 구간 [0, 1]은 컴팩트하다. 이는 하이네-보렐 정리로부터 나오는 결과이다. 반열린 구간 (0,1]의 경우, 이에 대한 열린 덮개 [math]\displaystyle{ \left(\frac 1 n, 1\right]\ (n=1,2,\cdots) }[/math]가 유한 부분덮개를 갖지 않기에, 컴팩트하지 않다.
임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ n }[/math]차원 구는 컴팩트하다. 하이네-보렐 정리에 의해, 임의의 유한 차원 노름 공간의 닫힌 단위공(closed unit ball)은 컴팩트하다. 단, 이는 무한차원 공간에 대해서는 성립하지 않는다.
칸토어 집합은 컴팩트하다. p진 정수의 집합은 칸토어 집합과 위상동형이므로 컴팩트하다.
쌍대 유한 위상이 주어진 임의의 공간은 컴팩트하다.
임의의 국소 컴팩트한 하우스도르프 공간은 한 점을 추가해서 컴팩트 집합으로 만들 수 있는데, 이를 알렉산드로프 컴팩트화라고 한다. 직선 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 알렉산드로프 컴팩트화는 원 [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]과 위상동형이며, 평면 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]의 알렉산드로프 컴팩트화는 구 [math]\displaystyle{ S^2 }[/math]와 위상동형이다.
임의의 가환환이나 불 대수의 스펙트럼은 컴팩트 공간이다.
힐베르트 입방체는 컴팩트하다.

5 같이 보기[ | ]

6 참고[ | ]

↑ Jänich, Klaus (1984). 《Topology》 (영어). Springer.

[1] Jänich, Klaus (1984). 《Topology》 (영어). Springer.

[1]