카탈란 수

1 개요

Catalan number

카탈란 수, 카탈랑 수

• 이진 트리의 수 따위를 셀 때 등장하는 수열

[math]\displaystyle{ C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!} = \prod\limits_{k=2}^{n}\frac{n+k}{k} }[/math]

• OEIS 수열 A000108
• 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

2 응용

[math]\displaystyle{ C_n }[/math]은...

• -1과 1 값으로 만들어진 수열 [math]\displaystyle{ (a_1, a_2, ..., a_{2n}) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_{2n}=0 }[/math]일 때, 각각의 부분합 [math]\displaystyle{ a_1, a_1+a_2, ..., a_1+a_2+...+a_{2n} }[/math]이 모두 0 이상이 되도록 하는 방법의 수
• [math]\displaystyle{ a_i }[/math]가 1 또는 -1일 때, [math]\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_{2n+2}=0 }[/math]이고 각각의 부분합 [math]\displaystyle{ a_1, a_1+a_2, ..., a_1+a_2+...+a_{2n+1} }[/math]이 모두 0 보다 크게 되도록 하는 방법의 수
• 길이가 2n인 모든 뒤크 단어(Dyck word)의 수

 

• n+1개의 항에 괄호를 씌우는 모든 경우의 수
• n+1개의 단말 노드를 갖는 이진 순서 트리의 개수

 

• 동형이 아닌 모든 정이진트리 중 자식을 가진 노드가 n개인 트리의 개수
• n+1각형을 n-1개의 삼각형으로 나누는 방법의 수

 

3 참고

• https://ko.wikipedia.org/wiki/카탈랑_수
• http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=1623