개요
- Catalan number
- 카탈란 수, 카탈랑 수
- 이진 트리의 수 따위를 셀 때 등장하는 수열
- <math>C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!} = \prod\limits_{k=2}^{n}\frac{n+k}{k}</math>[1]
- OEIS 수열 A000108
- 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
응용
<math>C_n</math>은...
- -1과 1 값으로 만들어진 수열 <math>(a_1, a_2, ..., a_{2n})</math>에서 <math>a_1+a_2+...+a_{2n}=0 </math>일 때, 각각의 부분합 <math>a_1, a_1+a_2, ..., a_1+a_2+...+a_{2n}</math>이 모두 0 이상이 되도록 하는 방법의 수
- <math>a_i</math>가 1 또는 -1일 때, <math>a_1+a_2+...+a_{2n+2}=0</math>이고 각각의 부분합 <math>a_1, a_1+a_2, ..., a_1+a_2+...+a_{2n+1}</math>이 모두 0 보다 크게 되도록 하는 방법의 수
- 길이가 2n인 모든 뒤크 단어(Dyck word)의 수
- n+1개의 항에 괄호를 씌우는 모든 경우의 수
- n+1개의 단말 노드를 갖는 이진 순서 트리의 개수
- 동형이 아닌 모든 정이진트리 중 자식을 가진 노드가 n개인 트리의 개수
- n+1각형을 n-1개의 삼각형으로 나누는 방법의 수
참고
- ↑ 단, <math>n\ge 0</math>일 때