사인 법칙

1 개요[ | ]

law of sines, sine law, sine formula, or sine rule
사인 법칙, 정현법칙, 정현정리
  • 삼각형에서 내각 사인값과 대변 길이의 관계

LabeledTriangle1.png

[math]\displaystyle{ {a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = 2R }[/math]

  • R=외접원의 반지름

2 기본 증명[ | ]

Law of sines proof.png

[math]\displaystyle{ \sin A = \frac{h}{b} }[/math], [math]\displaystyle{ \sin B = \frac{h}{a}. }[/math]
[math]\displaystyle{ h = b\,\sin A = a\,\sin B }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} }[/math]

B와 C도 마찬가지.

3 2R 증명[ | ]

3.1 90° 미만[ | ]

△ABC의 외접원과, 그 중심을 지나는 내접△ BCD를 작도

 

[math]\displaystyle{ \angle \rm A =\angle D }[/math] (원주각의 정리)
[math]\displaystyle{ \overline{BD} = 2R }[/math], [math]\displaystyle{ \angle {\rm BCD} = {\pi \over 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin D = {a \over 2R} }[/math]
[math]\displaystyle{ \qquad\sin D = \sin A }[/math]
[math]\displaystyle{ {a \over \sin A} = 2R }[/math]

[math]\displaystyle{ \angle B }[/math], [math]\displaystyle{ \angle C }[/math]도 마찬가지.

3.2 90° 초과[ | ]

 

[math]\displaystyle{ \angle \rm D = \pi - \angle A }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin D = \sin A }[/math]
[math]\displaystyle{ {\sin A} = {\sin D} = {a \over 2R} }[/math]
[math]\displaystyle{ {a \over \sin A} = 2R }[/math]

[math]\displaystyle{ \angle B }[/math], [math]\displaystyle{ \angle C }[/math]도 마찬가지.

4 같이 보기[ | ]

5 참고[ | ]

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