곡선의 길이

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평면 위에 있는 곡선의 방정식이 다음과 같이 매개변수 t[math]\displaystyle{ (a\ge t\ge b) }[/math]로 표현될 때

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases} }[/math]

t가 a에서 b까지 변화하는 동안에 해당하는 곡선의 길이 s는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ s=\int_a^b\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt }[/math]

특히 [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math]로 표현될 때, 곡선의 길이 s는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ s=\int_a^b\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dt }[/math]