2015년 일본 수학 올림픽 본선 문제

1 개요

2015年日本数学オルリクピク本選

2015년 일본 수학올림픽 본선

2015 일본수학올림피아드 본선

• 2015년 2월 11일
• 시험시간: 4시간
• 문항 수: 5개

2 1번

[math]\displaystyle{ \frac{10^n}{n^3+n^2+n+1} }[/math]이 정수가 되게 하는 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 모두 구하시오.

3 2번

[math]\displaystyle{ n }[/math]이 [math]\displaystyle{ 2 }[/math] 이상인 정수라고 하자. 한 변의 길이가 [math]\displaystyle{ n }[/math]인 정육각형 [math]\displaystyle{ ABCDEF }[/math]은, 왼쪽 그림과 같이 길이가 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]인 정삼각형으로 분할된다. 정삼각형의 꼭지점을 간단히 '꼭지점'이라고 하자.

 

정육각형 [math]\displaystyle{ ABCDEF }[/math]의 중심에 말이 놓여 있다. 오른쪽 그림과 같이 정육각형 [math]\displaystyle{ ABCDEF }[/math]의 내부(둘레는 포함하지 않음)에 있는 꼭지점 [math]\displaystyle{ P }[/math] 각각에 대해, [math]\displaystyle{ P }[/math]에서 길이가 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]인 변으로 연결된 꼭지점 [math]\displaystyle{ 6 }[/math]개 중 [math]\displaystyle{ 4 }[/math]개를 향해 화살표가 그려져 있어, 꼭지점 [math]\displaystyle{ P }[/math]에 말이 놓여있을 때 그 [math]\displaystyle{ 4 }[/math] 방향 중 하나로 말을 움직이는 것이 가능하다. 단, 길이가 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]인 변 [math]\displaystyle{ PQ }[/math]에 대해, 꼭지점 [math]\displaystyle{ P }[/math]에서 꼭지점 [math]\displaystyle{ Q }[/math]로 말을 움직이는 것이 가능하더라도 꼭지점 [math]\displaystyle{ Q }[/math]에서 꼭지점 [math]\displaystyle{ P }[/math]로 말을 움직이는 것이 가능하다고만은 할 수 없다.

이 때, 화살표가 어떻게 그려져 있더라도 말을 최대 [math]\displaystyle{ k }[/math]번 움직여서 정육각형 [math]\displaystyle{ ABCDEF }[/math]의 둘레 위에 있는 꼭지점에 도착시킬 수 있는 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 존재함을 보이고, [math]\displaystyle{ k }[/math]의 최소값을 구하시오.

4 3번

양의 정수로 된 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} (n=1,2,⋯) }[/math]이 상승수열이라는 것은, 임의의 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \lt a_{n+1} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ a_{2n}=2a_n }[/math]인 것을 말한다.

(1) 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 상승수열이라 하자. [math]\displaystyle{ p }[/math]가 [math]\displaystyle{ a_1 }[/math]보다 큰 소수일 때, 이 수열은 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수를 포함하고 있음을 보여라.

(2) [math]\displaystyle{ p }[/math]를 홀수인 소수라 하자. 상승수열이며, 모든 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수를 포함하지 않는 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 존재함을 보여라.

5 4번

이등변삼각형이 아닌 삼각형 [math]\displaystyle{ ABC }[/math]가 있고, 그 외접원을 [math]\displaystyle{ Γ }[/math], 내심을 [math]\displaystyle{ I }[/math]라 하자. 또한, 삼각형 [math]\displaystyle{ ABC }[/math]의 내접원과 변 [math]\displaystyle{ AB,\ AC }[/math]의 접점을 각각 [math]\displaystyle{ D,\ E }[/math]라 하자. 삼각형 [math]\displaystyle{ BEI }[/math]의 외접원과 [math]\displaystyle{ Γ }[/math]의 교점 중 [math]\displaystyle{ B }[/math]가 아닌 점을 [math]\displaystyle{ P }[/math], 삼각형 [math]\displaystyle{ CDI }[/math]의 외접원과 [math]\displaystyle{ Γ }[/math]의 교점 중 [math]\displaystyle{ C }[/math]가 아닌 점을 [math]\displaystyle{ Q }[/math]라 할 때, 네 점 [math]\displaystyle{ D,\ E,\ P,\ Q }[/math]가 같은 원주상에 있음을 보여라.

6 5번

[math]\displaystyle{ a }[/math]가 양의 정수라 하자. 충분히 큰 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 다음이 성립함을 보여라:

무한히 이어지는 모눈 중에서 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 칸을 골라 검은색으로 칠한다. 이 때 [math]\displaystyle{ a×a }[/math]의 칸 내에 정확히 [math]\displaystyle{ a }[/math]개의 칸이 검은색으로 칠해져 있는 경우의 수를 [math]\displaystyle{ K }[/math]라 하자. K의 최대값은 [math]\displaystyle{ a(n+1-a) }[/math]이다.

단, 충분히 큰 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 성립한다는 것은, 어떤 정수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재하여 임의의 [math]\displaystyle{ n≥N }[/math]에 대해 성립함을 말한다.

8 참고

• http://www.imojp.org/challenge/old/jmo25mq.html