베셀 함수

1 개요

Bessel Function

베셀 함수

• 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수
• 맥스웰 방정식, 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 사용됨

2 정의

• 다음의 미분 방정식(Bessel's equation)을 만족하는 특수함수
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle x\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + x\frac{\partial y}{\partial x}+\left(x^2-\alpha^2\right)=0 }[/math]
• 제 1종 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle J_\alpha\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^nx^{2n+\alpha}}{2^{2n+\alpha}n!\Gamma\left(x+\alpha+1\right)} }[/math]
• 제 2종 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle Y_\alpha\left(x\right)=\lim_{k\to\alpha}\frac{J_k\left(x\right)\cos{k\pi}-J_{-k}\left(x\right)}{\sin{k\pi}} }[/math]
• 한켈 함수
  • 제 1종 한켈 함수: [math]\displaystyle{ H_\alpha^{\left(1\right)}\left(x\right)=J_\alpha\left(x\right)+iY_\alpha\left(x\right) }[/math]
  • 제 2종 한켈 함수: [math]\displaystyle{ H_\alpha^{\left(2\right)}\left(x\right)=J_\alpha\left(x\right)-iY_\alpha\left(x\right) }[/math]

3 변형 베셀 함수(또는 쌍곡 베셀 함수)

• 다음의 미분 방정식(modified Bessel's equation)을 만족하는 특수함수
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle x\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + x\frac{\partial y}{\partial x}-\left(x^2+\alpha^2\right)=0 }[/math]
• 제 1종 변형 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle I_\alpha\left(x\right)=i^{\left(\alpha\right)}J_\alpha\left(ix\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+\alpha}}{2^{2n+\alpha}n!\Gamma\left(x+\alpha+1\right)} }[/math]
• 제 2종 변형 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle K_\alpha\left(x\right)=\lim_{k\to\alpha}\frac{\pi}{2}\frac{I_{-k}\left(x\right)-I_{k}\left(x\right)}{\sin{k\pi}} }[/math]

4 같이 보기

• 미분 방정식

5 참고

• 위키백과 "베셀 함수"
• 틀:따음백과
• 네이버백과 "베셀 함수"