베셀 함수

1 개요

Bessel function

Bessel 函數

베셀 함수

• 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수
• 맥스웰 방정식, 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 사용됨

2 정의

• 다음의 미분 방정식(Bessel's equation)을 만족하는 특수 함수
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle x^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + x\frac{\partial y}{\partial x}+\left(x^2-\alpha^2\right)y=0 }[/math]
• 제 1종 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle J_\alpha\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^nx^{2n+\alpha}}{2^{2n+\alpha}n!\Gamma\left(x+\alpha+1\right)} }[/math]
• 제 2종 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle Y_\alpha\left(x\right)=\lim_{k\to\alpha}\frac{J_k\left(x\right)\cos{k\pi}-J_{-k}\left(x\right)}{\sin{k\pi}} }[/math]

3 베셀 함수의 특징

• 베셀 함수를 나타내는 급수는 모든 x에 대해 수렴한다.
• 베셀 함수 [math]\displaystyle{ \displaystyle J_n\left(x\right) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 정수일 때, [math]\displaystyle{ \displaystyle J_n\left(x\right) }[/math]는 [math]\displaystyle{ \displaystyle J_{-n}\left(x\right) }[/math]와 일차종속 관계에 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle J_{-n}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}J_{n}\left(x\right) }[/math]

• 베셀 함수 [math]\displaystyle{ \displaystyle J_\alpha\left(x\right) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]가 반정수일 때, 베셀 함수는 삼각함수와 간단한 무리함수의 조합으로 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle J_{1/2}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle J_{-1/2}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos{x} }[/math]

• 나머지 반정수들[math]\displaystyle{ \displaystyle \left(\alpha=\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\cdots\right) }[/math]에 대해서도 아래와 같은 재귀관계를 이용하여 삼각함수와 무리함수의 조합으로 간단하게 나타낼 수 있음을 증명할 수 있다.

3.1 재귀 관계

베셀함수는 다음과 같은 재귀 관계(reccurence relation)를 가지고 있다.

• [math]\displaystyle{ \displaystyle\frac{d}{dx}\left[x^{\alpha}J_\alpha\left(x\right)\right]=x^{\alpha}J_{\alpha-1}\left(x\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle\frac{d}{dx}\left[x^{-\alpha}J_\alpha\left(x\right)\right]=-x^{-\alpha}J_{\alpha+1}\left(x\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle J_{\alpha-1}\left(x\right)=\frac{\alpha}{x}J_\alpha\left(x\right)+\left[J_\alpha\left(x\right)\right]' }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle J_{\alpha+1}\left(x\right)=\frac{\alpha}{x}J_\alpha\left(x\right)-\left[J_\alpha\left(x\right)\right]' }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle J_\alpha\left(x\right)=\frac{x}{2\alpha}\left[J_{\alpha-1}\left(x\right)+J_{\alpha+1}\left(x\right)\right] }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[J_\alpha\left(x\right)\right]'=\frac{1}{2}\left[J_{\alpha-1}\left(x\right)-J_{\alpha+1}\left(x\right)\right] }[/math]

4 한켈 함수

• 베셀 함수의 복소해를 구할 필요성에 따라 다음과 같이 정의함
  • 제 1종 한켈 함수: [math]\displaystyle{ H_\alpha^{\left(1\right)}\left(x\right)=J_\alpha\left(x\right)+iY_\alpha\left(x\right) }[/math]
  • 제 2종 한켈 함수: [math]\displaystyle{ H_\alpha^{\left(2\right)}\left(x\right)=J_\alpha\left(x\right)-iY_\alpha\left(x\right) }[/math]

5 변형 베셀 함수(또는 쌍곡 베셀 함수)

• 다음의 미분 방정식(modified Bessel's equation)을 만족하는 특수 함수
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle x^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + x\frac{\partial y}{\partial x}-\left(x^2+\alpha^2\right)y=0 }[/math]
• 제 1종 변형 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle I_\alpha\left(x\right)=i^{\alpha}J_\alpha\left(ix\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+\alpha}}{2^{2n+\alpha}n!\Gamma\left(x+\alpha+1\right)} }[/math]
• 제 2종 변형 베셀 함수: [math]\displaystyle{ \displaystyle K_\alpha\left(x\right)=\lim_{k\to\alpha}\frac{\pi}{2}\frac{I_{-k}\left(x\right)-I_{k}\left(x\right)}{\sin{k\pi}} }[/math]

6 같이 보기

• Anger 함수
• 베셀 다항식
• 베셀-클리포드 함수
• 베셀-메이트랜드 함수
• 푸리에-베셀 급수
• 미분 방정식
• 구면 조화 함수
• 헬름홀츠 방정식
• 프로베니우스 방법

7 참고

• 위키백과 "베셀 함수"
• 다음백과 "베셀 함수"
• 네이버백과 "베셀 함수"