계단 함수

1 개요

step function, staircase function
階段函數
계단 함수

구간의 지시 함수의 유한 선형 결합인 함수

2 정의

함수 [math]\displaystyle{ s\colon I\to\mathbb R }[/math] ([math]\displaystyle{ I\subseteq\mathbb R }[/math]는 구간)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 [math]\displaystyle{ s }[/math]를 계단 함수라고 한다.

[math]\displaystyle{ \textstyle s=\sum_{k=1}^nc_k1_{J_k} }[/math]를 만족시키는 [math]\displaystyle{ c_1,\dots,c_n\in\mathbb R }[/math] 및 구간 [math]\displaystyle{ J_1,\dots,J_n\subseteq I }[/math]이 존재한다. (여기서 [math]\displaystyle{ 1_{J_k} }[/math]는 지시 함수이다.)
모든 [math]\displaystyle{ s|_{(p_{i-1},p_i)} }[/math]가 상수 함수이게 되는 [math]\displaystyle{ \inf I=p_0\lt p_1\lt \cdots\lt p_n=\sup I }[/math]가 존재한다. (여기서 [math]\displaystyle{ \inf }[/math]는 하한, [math]\displaystyle{ \sup }[/math]는 상한이다.)

3 성질

3.1 연산에 대한 닫힘

두 계단 함수의 합과 곱은 여전히 계단 함수이다. 이에 따라 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math] 위의 계단 함수의 집합은 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]-대수를 이룬다.

3.2 적분

계단 함수의 적분은 조각마다 일차 함수이다.

4 예

다음과 같은 함수는 [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math] 위의 계단 함수이다.

[math]\displaystyle{ s(x)= \begin{cases}5&x\in[0,1)\\-1&x=1\\2&x\in(1,2)\\9&x\in[2,3] \end{cases} }[/math]

5 같이 보기

6 참고