√2는 무리수 증명

1 개요

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 무리수 증명

루트2는 무리수

√2는 무리수이다 증명

√2는 유리수가 아니다 증명

• 증명방법은 다양하다.

2 증명 1

• [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \dfrac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]는 서로소인 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\dfrac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ m^2 }[/math]은 짝수, 따라서 [math]\displaystyle{ m }[/math]도 짝수이다.
• [math]\displaystyle{ m }[/math]이 짝수이므로, [math]\displaystyle{ m=2k }[/math]가 되는 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 있다.

[math]\displaystyle{ 2n^2=m^2=4k^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n^2=2k^2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ n^2 }[/math]는 짝수이므로 [math]\displaystyle{ n }[/math]도 짝수이다.
• [math]\displaystyle{ m, n }[/math]이 모두 짝수이면 [math]\displaystyle{ m }[/math]와 [math]\displaystyle{ n }[/math]가 서로소라는 가정에 모순된다.

따라서, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아니다(무리수이다).

3 증명 2

• [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \dfrac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]은 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\dfrac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math] … ①

• [math]\displaystyle{ m, n }[/math]을 소인수분해하면...

[math]\displaystyle{ m=2^px }[/math] (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → 2가 짝수개(2p개) … ②

[math]\displaystyle{ n=2^qy }[/math] (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → 2가 홀수개(2q+1개) … ③

• ②와 ③은, ①과 모순이다.

즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아니다(무리수이다).

4 같이 보기

• 무리수
• 귀류법
• 히파소스
• 2의 제곱근

5 참고

• http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=438