초기하함수

1 개요

hypergeometric function

超幾何函數

초기하함수

• 수학 응용 분야에 등장하는 수많은 특수 함수들을 일반화하는 일련의 급수
• 다음과 같은 선형 상미분 방정식을 만족함
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle z\prod_{n=1}^{p}\left(z\frac{d}{dz}+a_n\right)w\left(z\right)=z\frac{d}{dz}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac{d}{dz}+b_n-1\right)w\left(z\right) }[/math]

2 정의

• 오일러의 초기하함수(Euler's hypergeometric function)는 다음과 같음
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_2F_1\left(a,b;c;z\right) =\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(a\right)_n}{\left(b\right)_n\left(c\right)_n}\frac{z^n}{n!} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \left(x\right)_n }[/math]은 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)로, 아래와 같음
    • [math]\displaystyle{ \displaystyle \left(x\right)_n = \begin{cases}1&n=0\\x(x+1)\cdots\left(x+n-1\right)&n\gt 0\end{cases} }[/math]
• 일반적으로, 확장된 정의는 다음과 같음
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_pF_q\left(a_1,a_2,\cdots,a_p;b_1,b_2,\cdots,b_q;z\right) =\sum_{n=0}^\infty \frac{\left(a_1\right)_n\left(a_2\right)_n\cdots\left(a_1\right)_n}{\left(b_1\right)_n\left(b_2\right)_n\cdots\left(b_q\right)_n}\frac{z^n}{n!} }[/math]

3 특수한 예시

3.1 ₀F₀

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_0F_0\left(;;z\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z }[/math]
  • 따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_0F_0\left(;;z\right) }[/math]는 항상 지수함수

3.2 ₀F₁

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_0F_1\left(;b;z\right) }[/math]는 합류 초기화 극한 함수(confluent hypergeometric limit function)라고 함
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_0F_1\left(;\frac{1}{2};-\frac{z^2}{4}\right)=\cos{z} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle z{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};-\frac{z^2}{4}\right)=\sin{z} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{x^\alpha}{2^\alpha\Gamma\left(\alpha+1\right)}{}_0F_1\left(;\alpha+1;-\frac{z^2}{4}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=J_\alpha\left(z\right) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ J_\alpha\left(z\right) }[/math]는 베셀 함수

3.3 ₁F₀

• [math]\displaystyle{ \displaystyle_1F_0\left(a;;z\right)=\frac{1}{\left(1-z\right)^a} }[/math]
  • 특히 [math]\displaystyle{ a=1, }[/math]인 경우 [math]\displaystyle{ \displaystyle_1F_0\left(1;;z\right)=\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left\vert z \right\vert\lt 1 }[/math]일 때 공비가 [math]\displaystyle{ z }[/math]인 기하급수이며, 여기에서 초기하함수라는 이름이 붙여짐

3.4 ₁F₁

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_1F_1\left(a;b;z\right) }[/math]는 제1종 합류 초기하함수(confluent hypergeometric function of the first kind)라고 함

3.5 ₂F₁

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_2F_1\left(a_1,a_2;b_1;z\right) }[/math]는 오일러의 초기하함수(Euler's Hypergeometric function)라고 함
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{}_2F_1\left(-k,1;1;-z\right)=\left(1+z\right)^k }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle z{}_2F_1\left(1,1;2;-z\right)=\ln\left(1+z\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle z{}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2\right)=\sin^{-1}\left(z\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle z{}_2F_1\left(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^2\right)=\cos^{-1}\left(z\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{\pi}{2}{}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z^2\right)=K\left(z\right) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ K\left(z\right) }[/math]는 제 1종 완전 타원 적분
• [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{\pi}{2}{}_2F_1\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;z^2\right)=E\left(z\right) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ E\left(z\right) }[/math]는 제 2종 완전 타원 적분

4 같이 보기

• 함수
• 초기하
• 특수 함수

5 참고

• 위키백과 "초기하함수"
• 다음백과 "초기하함수"
• 네이버백과 "초기하함수"