황금비

1 개요

golden ratio, golden mean, golden section, extreme and mean ratio, medial section, divine proportion, divine section, golden proportion, golden cut, golden number
黃金比, 黃金分割
황금비, 황금 분할

주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비
흔히, 인간이 인식하기에 가장 균형적이고 이상적으로 보인다고 하는 비율
정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비
(황금분할) 황금비로 선분 면 등으 분할하는 것
어떠한 선으로 이등분하여 한쪽의 평방을 다른쪽 전체의 면적과 같도록 하는 분할
기호: 피 ( [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] or [math]\displaystyle{ \phi }[/math] )
약 1.618인 무리수
초기 연구자는 유클리드(원론 3, 141)

[math]\displaystyle{ \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi} }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi + 1 = \varphi^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0. }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{...}}}}=\varphi }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}=\varphi }[/math]