군(群)

  다른 뜻에 대해서는 군대 문서를 참조하십시오.

1 개요

group

• 어떤 집합과 이항연산이 가질 수 있는 특정한 대수 구조
• 그 이항연산이 닫혀 있고, 항등원, 역원이 존재하고, 결합법칙을 만족하는 구조

2 정의

집합 G와 이항연산 [math]\displaystyle{ \times }[/math]가 있고, 다음 4가지를 만족할 때 [math]\displaystyle{ (G, \times) }[/math]

1. [math]\displaystyle{ \times }[/math]가 닫혀 있고: 임의의 [math]\displaystyle{ a, b \in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a \times b \in G }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \times }[/math]에 대해 결합법칙이 성립하고: 임의의 [math]\displaystyle{ a, b, c \in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) }[/math]
3. 항등원이 존재하고: 임의의 [math]\displaystyle{ a \in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a \times e = e \times a = a }[/math]인 [math]\displaystyle{ e \in G }[/math]가 유일하게 존재
4. 임의의 원소에 대해서 역원이 존재할 때: 임의의 [math]\displaystyle{ a \in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e }[/math]인 [math]\displaystyle{ a^{-1} \in G }[/math]가 유일하게 존재