4차 방정식

1 개요

quartic equation

4차 방정식, 사차방정식

• 미지수의 최고 차수가 4차인 방정식
• 일반형: [math]\displaystyle{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 }[/math]
• 복소수의 범위에서 4개의 근을 가짐

2 일반화 유도과정

[math]\displaystyle{ \textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\ }[/math]

취른하우스 정리에서 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 최고차항인 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 나눈 다음 [math]\displaystyle{ \textstyle x=y- {b \over 4a} }[/math] 에서

[math]\displaystyle{ y^4 + p{y^2} + qy + r = 0 }[/math] 형태로 정리한다.

[math]\displaystyle{ {a \over a}x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 +{d \over a}x+ {e \over a} = 0 }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ {a \over a} = 1, {b \over a}= a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}= d }[/math]로 치환하면

[math]\displaystyle{ x^4 + a x^3 + b x^2 +cx+ d = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( y-{a \over 4} \right)^4+ a \left( y-{a \over 4} \right)^3+b \left( y-{a \over 4} \right)^2+c \left( y-{a \over 4} \right)+d=0 }[/math]

전개하면

[math]\displaystyle{ y^4 + \left( {-3a^2 \over 8 } +b \right) y^2 + \left( +{ a^3 \over 8}-{ba \over 2} +c \right) y+ \left( -{a^4 \over 64}+{a^4 \over 256}+{ba^2\over 16}-{ca \over 4} +d \right) = 0 }[/math]

정리하면

[math]\displaystyle{ y^4 +p{y}^2 +qy + r = 0 }[/math] 이고

[math]\displaystyle{ y^4 +p{y}^2= - qy - r }[/math] 이다.

한편, [math]\displaystyle{ ( y^2 + p )^2 }[/math]의 완전제곱식을 풀면, [math]\displaystyle{ y^4 + 2py^2 + p^2 }[/math]이 되므로

[math]\displaystyle{ y^4+py^2 }[/math]의 나머지인[math]\displaystyle{ +py^2 + p^2 }[/math]를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 할수있다.

[math]\displaystyle{ ( y^2 + p )^2 = p{y}^2 -qy + p^2 -r }[/math]이 된다.

이번에는 우변에 미지수 [math]\displaystyle{ t }[/math]를 제공하고 [math]\displaystyle{ y }[/math]와 [math]\displaystyle{ t }[/math]에 대해 정리하면,

[math]\displaystyle{ \left(y^2+p+t \right)^2= \left(p+2t \right)y^2 -qy + \left(p^2+2pt + t^2-r \right) }[/math]

우변 이차방정식의 판별식, [math]\displaystyle{ D = q^2 -4 \left(p+2t\right) \left((p+ t)^2-r \right)=0 }[/math]이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.

이것은 [math]\displaystyle{ t }[/math]에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 [math]\displaystyle{ t }[/math]의 3근 [math]\displaystyle{ t_1 ,t_2,t_3 }[/math]를 구한다음 [math]\displaystyle{ t_1 }[/math]을 대입한다.

[math]\displaystyle{ D= q^2 -4 (p+2t_1) (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) =0 }[/math] 에의해

[math]\displaystyle{ {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} = (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) }[/math] 이므로,

[math]\displaystyle{ \left(y^2+p+t_1 \right)^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + \left( {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ (y^2 +p+t_1)^2 = (p +2t_1) \left(y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right)^2 }[/math]이다.

이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다.

이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식의 이차방정식으로 분해된다.

양변에 제곱근을 주고 이항시켜 정리하면

[math]\displaystyle{ y^2 - \sqrt{p +2t_1} y +\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}} } +p+t_1\right)=0 }[/math]

근의 공식으로부터 [math]\displaystyle{ y = {{\sqrt{p +2t_1} \pm \sqrt{ {\left(-\sqrt{p+2t_1} \right)^2} -4\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}}} +p+t_1 \right)} } \over {2} } }[/math]

그리고 [math]\displaystyle{ x= y-{b \over 4a} }[/math] 이므로

4근은

[math]\displaystyle{ x= -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) , -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ , -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) , -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) }[/math]

조사할수있다.

3 같이 보기

• 4차 함수
• 3차 방정식
• 2차방정식
• 다항 방정식

4 참고

• http://www.scienceall.com/사차방정식quartic-equation/