알레프 수

1 개요

aleph number

알레프 수

• 무한 기수를 나타내는 표기법
• 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킴

 

2 정의

순서수 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]에 대하여, 알레프 수 [math]\displaystyle{ \aleph_\alpha }[/math]는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의됨

• [math]\displaystyle{ \aleph_0=|\mathbb N| }[/math] (자연수의 집합의 크기)
• [math]\displaystyle{ \aleph_{\alpha+1}=\aleph_\alpha^+ }[/math]
• [math]\displaystyle{ \aleph_\lambda=\bigsqcup_{\alpha\lt \lambda}\aleph_\alpha }[/math] ([math]\displaystyle{ \lambda }[/math]는 극한 순서수, 기수 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]를 크기가 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]인 집합으로 간주)

3 예시

ℵ₀

• 가산 무한 집합의 크기
• 자연수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math]
• 정수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]
• 유리수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math]

ℵ₁

• 가장 작은 비가산 기수
• 모든 가산 순서수들의 집합의 크기

ℵ_ω

• 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 [math]\displaystyle{ 2^{\aleph_0}\lt \kappa }[/math] 임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]

4 참고 자료

• https://ko.wikipedia.org/wiki/알레프_수