√2는 무리수 증명

1 개요

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 무리수 증명

• 증명방법은 매우 다양함

2 방법

• [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] 꼴로 쓸 수 있음 (단, m, n은 정수)

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math] … ①

• m, n을 소인수분해하면...

[math]\displaystyle{ m=2^px }[/math] (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → [math]\displaystyle{ m^2 }[/math]에는 2가 짝수개(2p개) … ②

[math]\displaystyle{ n=2^qy }[/math] (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → [math]\displaystyle{ 2n^2 }[/math]에는 2가 홀수개(2q+1개) 들어 있음 … ③

• ②와 ③은 ①과 모순임

즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아님(무리수임)

3 같이 보기

• 2의 제곱근