"러셀의 역설, 이발사 역설"의 두 판 사이의 차이

2014년 11월 29일 (토) 17:24 판

1 개요

Russell's paradox, Russell's antinomy
러셀의 역설, 러셀의 패러독스, 러셀의 역리

수학자 버트런드 러셀이 1901년 발견한 논리적 역설
프레게의 논리체계와 칸토어의 소박한 집합론(naïve set theory)이 모순을 지닌다는 것을 보여준 예
[math]\displaystyle{ R = \{ x \mid x \not \in x \}이면\ R \in R \iff R \not \in R }[/math]

R이라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, x가 R의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 x가 x의 원소가 아닌 것으로 한다. 칸토어의 공리체계에서 위와 같은 정의로 집합 R은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 R이 자기 자신을 원소로 포함하는가?란 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 R이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에도 역시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 "R은 R의 원소이다"라는 명제와 "R은 R의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다.

2 같이 보기

3 참고 자료

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 * 프레게의 논리체계와 칸토어의 [[소박한 집합론]](naïve set theory)이 모순을 지닌다는 것을 보여준 예
 *<math>R = \{ x \mid x \not \in x \}이면\ R \in R \iff R \not \in R</math>
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 {{인용문|
-M이라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, A가 M의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아닌 것으로 한다.
+R이라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, x가 R의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 x가 x의 원소가 아닌 것으로 한다.
-칸토어의 공리체계에서 위와 같은 정의로 집합 M은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 M이 자기 자신을 원소로 포함하는가?란 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 M이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에도 역시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 "M은 M의 원소이다"라는 명제와 "M은 M의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다.
+칸토어의 공리체계에서 위와 같은 정의로 집합 R은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 R이 자기 자신을 원소로 포함하는가?란 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 R이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에도 역시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 "R은 R의 원소이다"라는 명제와 "R은 R의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다.
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