"√2는 무리수 증명"의 두 판 사이의 차이

2015년 6월 12일 (금) 21:33 판

1 개요

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 무리수 증명
√2는 무리수이다 증명

증명방법은 다양함

2 증명 1

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있음 (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]는 서로소인 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2 }[/math]은 짝수, 따라서 [math]\displaystyle{ m }[/math]도 짝수
[math]\displaystyle{ m }[/math]이 짝수이므로, [math]\displaystyle{ m=2k }[/math]가 되는 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 있음

[math]\displaystyle{ 2n^2=m^2=4k^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n^2=2k^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n^2 }[/math]는 짝수이므로 [math]\displaystyle{ n }[/math]도 짝수
[math]\displaystyle{ m, n }[/math]이 모두 짝수이면 [math]\displaystyle{ m }[/math]와 [math]\displaystyle{ n }[/math]가 서로소라는 가정에 모순됨

즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아님(무리수임)

3 증명 2

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있음 (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]은 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math] … ①

[math]\displaystyle{ m, n }[/math]을 소인수분해하면...

[math]\displaystyle{ m=2^px }[/math] (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → 2가 짝수개(2p개) … ②

[math]\displaystyle{ n=2^qy }[/math] (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → 2가 홀수개(2q+1개) … ③

②와 ③은, ①과 모순임

즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아님(무리수임)

4 같이 보기

2의 제곱근

5 참고 자료

http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=438

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 ==증명 1==
-*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\frac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있음 (단, m, n는 [[서로소]]인 정수, n≠0)
+*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\frac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있음 (단, <math>m, n</math>는 [[서로소]]인 정수, <math>n≠0</math>)
 :<math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>
 :<math>m^2=2n^2</math>
 *<math>m^2</math>은 짝수, 따라서 <math>m</math>도 짝수
-*<math>m</math>이 짝수이므로, <math>m=2k</math>가 되는 정수 k가 있음
+*<math>m</math>이 짝수이므로, <math>m=2k</math>가 되는 정수 <math>k</math>가 있음
 :<math>2n^2=m^2=4k^2</math>
 :<math>n^2=2k^2</math>
 *<math>n^2</math>는 짝수이므로 <math>n</math>도 짝수
-*m, n이 모두 짝수이면 m와 n가 서로소라는 가정에 모순됨
+*<math>m, n</math>이 모두 짝수이면 <math>m</math>와 <math>n</math>가 서로소라는 가정에 모순됨
 :즉, <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아님(무리수임)
 ==증명 2==
-*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\frac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있음 (단, m, n은 정수, n≠0)
+*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\frac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있음 (단, <math>m, n</math>은 정수, <math>n≠0</math>)
 :<math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>
 :<math>m^2=2n^2</math> … ①
-*m, n을 소인수분해하면...
+*<math>m, n</math>을 소인수분해하면...
 :<math>m=2^px</math> (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → 2가 짝수개(2p개) … ②
 :<math>n=2^qy</math> (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → 2가 홀수개(2q+1개) … ③