"√2는 무리수 증명"의 두 판 사이의 차이

2023년 3월 9일 (목) 00:42 기준 최신판

1 개요[ | ]

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 무리수 증명
루트2는 무리수
√2는 무리수이다 증명
√2는 유리수가 아니다 증명

증명방법은 다양하다.

2 증명 1[ | ]

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \dfrac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]는 서로소인 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\dfrac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2 }[/math]은 짝수, 따라서 [math]\displaystyle{ m }[/math]도 짝수이다.
[math]\displaystyle{ m }[/math]이 짝수이므로, [math]\displaystyle{ m=2k }[/math]가 되는 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 있다.

[math]\displaystyle{ 2n^2=m^2=4k^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n^2=2k^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n^2 }[/math]는 짝수이므로 [math]\displaystyle{ n }[/math]도 짝수이다.
[math]\displaystyle{ m, n }[/math]이 모두 짝수이면 [math]\displaystyle{ m }[/math]와 [math]\displaystyle{ n }[/math]가 서로소라는 가정에 모순된다.

따라서, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아니다(무리수이다).

3 증명 2[ | ]

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \dfrac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]은 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\dfrac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math] … ①

[math]\displaystyle{ m, n }[/math]을 소인수분해하면...

[math]\displaystyle{ m=2^px }[/math] (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → 2가 짝수개(2p개) … ②

[math]\displaystyle{ n=2^qy }[/math] (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → 2가 홀수개(2q+1개) … ③

②와 ③은, ①과 모순이다.

즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아니다(무리수이다).

4 같이 보기[ | ]

5 참고[ | ]

http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=438

@@ 4번째 줄: / 4번째 줄: @@
 ;√2는 무리수이다 증명
 ;√2는 유리수가 아니다 증명
-* 증명방법은 다양함
+* 증명방법은 다양하다.
 ==증명 1==
-*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\frac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있음 (단, <math>m, n</math>는 [[서로소]]인 정수, <math>n≠0</math>)
+*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\dfrac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있다. (단, <math>m, n</math>는 [[서로소]]인 정수, <math>n≠0</math>)
-:<math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>
+:<math>\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}</math>
 :<math>m^2=2n^2</math>
-*<math>m^2</math>은 짝수, 따라서 <math>m</math>도 짝수
+*<math>m^2</math>은 짝수, 따라서 <math>m</math>도 짝수이다.
-*<math>m</math>이 짝수이므로, <math>m=2k</math>가 되는 정수 <math>k</math>가 있음
+*<math>m</math>이 짝수이므로, <math>m=2k</math>가 되는 정수 <math>k</math>가 있다.
 :<math>2n^2=m^2=4k^2</math>
 :<math>n^2=2k^2</math>
-*<math>n^2</math>는 짝수이므로 <math>n</math>도 짝수
+*<math>n^2</math>는 짝수이므로 <math>n</math>도 짝수이다.
-*<math>m, n</math>이 모두 짝수이면 <math>m</math>와 <math>n</math>가 서로소라는 가정에 모순됨
+*<math>m, n</math>이 모두 짝수이면 <math>m</math>와 <math>n</math>가 서로소라는 가정에 모순된다.
-:즉, <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아님(무리수임)
+:따라서, <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아니다(무리수이다).
 ==증명 2==
-*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\frac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있음 (단, <math>m, n</math>은 정수, <math>n≠0</math>)
+*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\dfrac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있다. (단, <math>m, n</math>은 정수, <math>n≠0</math>)
-:<math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>
+:<math>\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}</math>
 :<math>m^2=2n^2</math> … ①
 *<math>m, n</math>을 소인수분해하면...
 :<math>m=2^px</math> (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → 2가 짝수개(2p개) … ②
 :<math>n=2^qy</math> (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → 2가 홀수개(2q+1개) … ③
-*②와 ③은, ①과 모순임
+*②와 ③은, ①과 모순이다.
-:즉, <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아님(무리수임)
+:즉, <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아니다(무리수이다).
 ==같이 보기==