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*어떤 차원의 물체를 n등분하여 분할된 닮음 도형이 <math>N=n^D</math>개 생겼을 때, D<ref><math>D=\log_nN</math></ref>는 이 물체의 하우스도르프 차원 | |||
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* [[시에르핀스키 삼각형]]은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 | * [[코흐 곡선]]의 하우스도르프 차원 <math>D=\log 4/\log 3\approx1.2618</math> | ||
* [[시에르핀스키 삼각형]]은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원 <math>D=\log 3/\log 2\approx1.58</math> | |||
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==참고 | ==참고== | ||
*http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension | *http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension | ||
*http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=1273 | |||
[[분류: 기하]] | [[분류: 기하]] | ||
2017년 7월 23일 (일) 04:19 기준 최신판
1 개요[ | ]
- Hausdorff dimension
- 하우스도르프 차원
- 거리 공간의 부분집합의 차원을 음이 아닌 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것
- 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]와 반지름 [math]\displaystyle{ r }[/math]이 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ S }[/math]를 [math]\displaystyle{ N(r) }[/math]개의 공으로 덮을 수 있다고 하면 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ d }[/math]는 [math]\displaystyle{ r }[/math]이 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]으로 갈 때 [math]\displaystyle{ N(r) }[/math]가 [math]\displaystyle{ r^{-d} }[/math]로 수렴하게 만드는 유일한 실수 [math]\displaystyle{ d }[/math]를 말한다.
- 거리 공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X) := \inf {\left\{ d \ge 0 : \operatorname{H}^d(X) = 0 \right\} } }[/math][1]
- 어떤 차원의 물체를 n등분하여 분할된 닮음 도형이 [math]\displaystyle{ N=n^D }[/math]개 생겼을 때, D[2]는 이 물체의 하우스도르프 차원
2 예시[ | ]
- 유클리드 공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]의 하우스도르프 차원은 [math]\displaystyle{ n }[/math]
- 원 [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]의 하우스도르프 차원은 1
- 가산 집합의 하우스도르프 차원은 0
- 칸토어 집합은 자기 자신과 닮았고 크기가 ⅓인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 2/\log 3\approx0.63 }[/math]
- 코흐 곡선의 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 4/\log 3\approx1.2618 }[/math]
- 시에르핀스키 삼각형은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원 [math]\displaystyle{ D=\log 3/\log 2\approx1.58 }[/math]
3 같이 보기[ | ]
4 주석[ | ]
5 참고[ | ]
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