"√2는 무리수 증명"의 두 판 사이의 차이

2023년 3월 9일 (목) 00:42 기준 최신판

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \dfrac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]는 서로소인 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\dfrac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2 }[/math]은 짝수, 따라서 [math]\displaystyle{ m }[/math]도 짝수이다.
[math]\displaystyle{ m }[/math]이 짝수이므로, [math]\displaystyle{ m=2k }[/math]가 되는 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 있다.

[math]\displaystyle{ 2n^2=m^2=4k^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n^2=2k^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n^2 }[/math]는 짝수이므로 [math]\displaystyle{ n }[/math]도 짝수이다.
[math]\displaystyle{ m, n }[/math]이 모두 짝수이면 [math]\displaystyle{ m }[/math]와 [math]\displaystyle{ n }[/math]가 서로소라는 가정에 모순된다.

따라서, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아니다(무리수이다).

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \dfrac{m}{n} }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. (단, [math]\displaystyle{ m, n }[/math]은 정수, [math]\displaystyle{ n≠0 }[/math])

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\dfrac{m}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ m^2=2n^2 }[/math] … ①

[math]\displaystyle{ m=2^px }[/math] (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → 2가 짝수개(2p개) … ②

[math]\displaystyle{ n=2^qy }[/math] (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → 2가 홀수개(2q+1개) … ③

즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]는 유리수가 아니다(무리수이다).

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 ==증명 2==
-*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\dfrac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있음 (단, <math>m, n</math>은 정수, <math>n≠0</math>)
+*<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라면 <math>\dfrac{m}{n}</math> 꼴로 나타낼 수 있다. (단, <math>m, n</math>은 정수, <math>n≠0</math>)
 :<math>\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}</math>
 :<math>m^2=2n^2</math> … ①
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 :<math>m=2^px</math> (단, p는 0이상의 정수, x는 홀수) → 2가 짝수개(2p개) … ②
 :<math>n=2^qy</math> (단, q는 0이상의 정수, y는 홀수) → 2가 홀수개(2q+1개) … ③
-*②와 ③은, ①과 모순임
+*②와 ③은, ①과 모순이다.
-:즉, <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아님(무리수임)
+:즉, <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아니다(무리수이다).
 ==같이 보기==