근과 계수의 관계

근과 계수의 관계

1 개요

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) }[/math]의 두 근을 [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math]라 하면,

• [math]\displaystyle{ \scriptstyle \alpha+\beta = -\frac b a }[/math]
• [math]\displaystyle{ \scriptstyle \alpha \beta = \frac{c}{a} }[/math]

2 유도

[math]\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac {-b-b+\sqrt {b^2-4ac\ }-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac {-2b}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore \alpha \beta =\frac {c}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ }}{\left| a \right|} }[/math]

3 참고 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/이차_방정식