"반복합성함수"의 두 판 사이의 차이

2020년 6월 25일 (목) 23:28 기준 최신판

1 개요[ | ]

iterated function
반복함수, 반복합성함수

같은 함수를 반복하여 합성(적용)하는 것

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^2(x)=f( f(x) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^3(x)=f( f^2(x) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^4(x)=f( f^3(x) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ f^n(x)=f( f^{n-1}(x) ) }[/math]

2 궤도[ | ]

적당한 대상을 초기값으로서 반복함수를 적용하여 얻는 값들
어떤 값에 대해 반복합성함수의 값을 나열한 것
[math]\displaystyle{ f^n(x) }[/math]의 수열

[math]\displaystyle{ f(a), f^2(a), f^3(a), \cdots, f^n(a) }[/math]

2.1 예시 1: 순환하는 경우[ | ]

[math]\displaystyle{ x=2 }[/math]에서 함수 [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x-1}{3x+1} }[/math]의 궤도

[math]\displaystyle{ f(2)=\frac{1}{7} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^2(2)=f\left(\frac{1}{7}\right)=-\frac{3}{5} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^3(2)=f\left(-\frac{3}{5}\right)=2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^4(2)=f(2)=\frac{1}{7} }[/math]

궤도: [math]\displaystyle{ \frac{1}{7}, -\frac{3}{5}, 2, \frac{1}{7}, -\frac{3}{5}, 2, \cdots }[/math]

2.2 예시 2: 순환하지 않는 경우[ | ]

[math]\displaystyle{ x=1 }[/math]에서 함수 [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+1} }[/math]의 궤도

[math]\displaystyle{ f(2)=\frac{1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^2(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^3(2)=f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{5} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^4(2)=f\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{5}{8} }[/math]

궤도: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \cdots }[/math]

3 같이 보기[ | ]

4 참고[ | ]

영어 위키백과 "Iterated function"

@@ 4번째 줄: / 4번째 줄: @@
 *같은 함수를 반복하여 합성(적용)하는 것
 :<math>f(x)</math>
-:<math>f^2(x)=(f\circ f)(x)</math>
+:<math>f^2(x)=f( f(x) )</math>
+:<math>f^3(x)=f( f^2(x) )</math>
+:<math>f^4(x)=f( f^3(x) )</math>
+:<math>\vdots</math>
+:<math>f^n(x)=f( f^{n-1}(x) )</math>
 ==궤도==
 *적당한 대상을 초기값으로서 반복함수를 적용하여 얻는 값들
+*어떤 값에 대해 반복합성함수의 값을 나열한 것
+*<math>f^n(x)</math>의 수열
+:<math>f(a), f^2(a), f^3(a), \cdots, f^n(a)</math>
+===예시 1: 순환하는 경우===
+<math>x=2</math>에서 함수 <math>f(x)=\frac{x-1}{3x+1}</math>의 궤도
+:<math>f(2)=\frac{1}{7}</math>
+:<math>f^2(2)=f\left(\frac{1}{7}\right)=-\frac{3}{5}</math>
+:<math>f^3(2)=f\left(-\frac{3}{5}\right)=2</math>
+:<math>f^4(2)=f(2)=\frac{1}{7}</math>
+:궤도: <math>\frac{1}{7}, -\frac{3}{5}, 2, \frac{1}{7}, -\frac{3}{5}, 2, \cdots</math>
+===예시 2: 순환하지 않는 경우===
+<math>x=1</math>에서 함수 <math>f(x)=\frac{1}{x+1}</math>의 궤도
+:<math>f(2)=\frac{1}{2}</math>
+:<math>f^2(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}</math>
+:<math>f^3(2)=f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{5}</math>
+:<math>f^4(2)=f\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{5}{8}</math>
+:궤도: <math>\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \cdots</math>
 ==같이 보기==
+*[[합성함수]]
 *[[반복함수계]]
-*[[반봅법]]
+*[[반복법]]
 *[[회전수]]
 *[[Sarkovskii의 정리]]
@@ 18번째 줄: / 42번째 줄: @@
 *[[슈퍼 함수]]
-==참고 자료==
+==참고==
-*https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function
+* {{영어위키백과|Iterated function}}
 [[분류: 함수]]