인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해

1 개요

인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해

• 3차식 이상의 다항식이 인수분해 가능하다는 것을 알고 있을 때 인수분해를 하는 범용적인 방법 ( 단, 정수를 계수로 하는 경우 )

1. 상수항의 약수를 찾는다.
2. 약수들을 차례로 다항식에 대입하여 0이 되는 수를 찾는다.
3. 조립제법을 이용하여 몫을 구한다.

2 예시 1

[math]\displaystyle{ x^3+3x^2-4 }[/math]를 인수분해해보자.

• 상수항 [math]\displaystyle{ -4 }[/math]의 약수: [math]\displaystyle{ \pm1, \pm2, \pm4 }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(1)=1^3+3 \cdot 1^2-4=0 }[/math]

→ 인수정리에 의해 [math]\displaystyle{ x-1 }[/math]을 인수로 가짐

• 조립제법으로 몫을 구함

[math]\displaystyle{ \begin{array}{cc} \begin{array}{c} \\ 1 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & 3 & 0 & -4 \\ & 1 & 4 & 4 \\ \hline 1 & 4 & 4 & 0 \end{array} \end{array} }[/math]

→ [math]\displaystyle{ (x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2)^2 }[/math]

3 예시 2

[math]\displaystyle{ x^3-4x^2+x+6 }[/math]를 인수분해해보자.

• 상수항 [math]\displaystyle{ 6 }[/math]의 약수: [math]\displaystyle{ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(-1)=(-1)^3-4 \cdot (-1)^2-1+6=-1-4-1+6=0 }[/math]

→ 인수정리에 의해 [math]\displaystyle{ x+1 }[/math]을 인수로 가짐

• 조립제법으로 몫을 구함

[math]\displaystyle{ \begin{array}{cc} \begin{array}{c} \\ -1 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -4 & 1 & 6 \\ & -1 & 5 & -6 \\ \hline 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \end{array} }[/math]

→ [math]\displaystyle{ (x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3) }[/math]

4 예시 3

[math]\displaystyle{ 8x^3-4x^2-2x+1 }[/math]를 인수분해해보자.

• 상수항 [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math]의 약수: [math]\displaystyle{ \pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{8} }[/math]
• [math]\displaystyle{ P\left(\frac{1}{2}\right)=8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3-4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ =8\cdot\frac{1}{8}-4 \cdot \frac{1}{4} -2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1-1-1+1=0 }[/math]

→ 인수정리에 의해 [math]\displaystyle{ x-\frac{1}{2} }[/math]을 인수로 가짐

• 조립제법으로 몫을 구함

[math]\displaystyle{ \begin{array}{cc} \begin{array}{c} \\ \frac{1}{2} \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 8 & -4 & -2 & 1 \\ & 4 & 0 & -1 \\ \hline 8 & 0 & -2 & 0 \end{array} \end{array} }[/math]

→ [math]\displaystyle{ \left(x-\frac{1}{2}\right)(8x^2-2) }[/math]

[math]\displaystyle{ =(2x-1)(4x^2-1)=(2x-1)(2x-1)(2x+1)=(2x-1)^2(2x+1) }[/math]

5 같이 보기

• 인수정리
• 조립제법
• 인수분해